Model Isinga

Model Isinga – model matematyczny wykorzystywany w mechanice statystycznej do badań nad przejściami fazowymi. Został stworzony w roku 1920 przez Wilhelma Lenza jako model ferromagnetyka.

Definicja

Model Isinga opisany jest za pomocą układu dyskretnych zmiennych $s$ (spinów), które przyjmują wartości +1 lub −1 zlokalizowane na każdym węźle sieci. Energia oddziaływania pary spinów przyjmuje jedną z dwóch wartości zależną od ich wzajemnej orientacji (zgodnej lub przeciwnej).

Hamiltonian modelu Isinga w zewnętrznym polu

Energię modelu Isinga uwzględniającego oddziaływania między spinami zlokalizowanych w najbliżej sąsiadujących węzłach oraz z zewnętrznym polem magnetycznym można przedstawić w postaci hamiltonianu

$H=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i},$

gdzie sumowanie w pierwszym członie odbywa się po wszystkich sąsiadujących ze sobą parach spinów zlokalizowanych w węzłach $i,j.$ Parametr $J_{ij}$ jest całką wymiany i przyjmuje następujące wartości zależne od charakteru oddziaływań między spinami

$J_{ij}>0$ – ferromagnetyczne (ustawia spiny w jednym kierunku, przeciwnym do zewnętrznego pola),

$J_{ij}<0$ – antyferromagnetyczne,

$J_{ij}=0$ – para spinów nie oddziałuje ze sobą,

gdzie $h$ jest energią spinu $i$ w zewnętrznym polu magnetycznym.

Ścisłe rozwiązanie tego modelu dla przypadku jednowymiarowego uzyskał Ernst Ising w roku 1925. Układ dwuwymiarowy przy zerowym polu magnetycznym analitycznie rozwiązał Lars Onsager w roku 1944. Przypadek dwuwymiarowy w niezerowym polu zewnętrznym pozostaje nie rozwiązany (2011), czyli postać analityczna energii swobodnej dla 2D modelu Isinga w dowolnym zewnętrznym polu magnetycznym jest nadal nieznana.

Namagnesowanie

Określmy wartość namagnesowania $m$ jako

$m={\frac {1}{N}}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle ,$

przy czym ferromagnetyzm występuje, gdy $m\neq 0$ dla zerowego zewnętrznego pola magnetycznego.

Dla ferromagnetyzmu ma miejsce spontaniczne złamanie symetrii, tzn. w zerowym zewnętrznym polu magnetycznym układ sam wyróżnia jeden z kierunków.

Suma statystyczna w modelu Isinga

$Z=\sum _{S_{1},S_{2},\dots ,S_{N}}\exp[-\beta H(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})].$

(Aby obliczyć średnią z operatora A zależnego od $S_{1},\dots ,S_{N}$ można dodać do hamiltonianu człon $+\alpha A,$ a następnie obliczyć średnią i pochodną w granicy dla $\alpha$ zmierzającym do zera)

$\langle A(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}A(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})\exp[-\beta H(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})].$

Namagnesowanie jest więc równe:

$m=kT{\frac {1}{N}}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln Z=kT{\frac {1}{N}}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln \sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta J\sum _{<i,j>}S_{i}S_{j}+\beta h\sum _{i}S_{i}\right]=kT{\frac {1}{N}}{\frac {\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\left[\exp(-\beta H)\beta \sum _{i}S_{i}\right]}{Z}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle .$

Ostatecznie więc namagnesowanie

$m={\frac {1}{N}}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle =kT{\frac {1}{N}}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln Z.$

Gdy J = 0, tzn. dla układu nieoddziałujących spinów w polu magnetycznym suma statystyczna jest równa:

$Z=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp(-\beta H)=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left(\beta h\sum _{i}S_{i}\right)=\left[\sum _{S_{i}}\left(\exp(\beta hS_{i})\right)\right]^{N}=\left[\exp(\beta h)+\exp(-\beta h)\right]^{N}=\left[2\cosh(\beta h)\right]^{N}.$

Dla takiej sumy statystycznej namagnesowanie jest równe

$m={\frac {1}{N}}kT{\frac {\partial }{\partial h}}\ln \left[2\cosh \beta h)\right]^{N}=kT{\frac {\left[\exp(\beta h)-\exp(-\beta h)\right]}{2\cosh(\beta h)}}=\operatorname {tgh} (\beta h).$

Model Isinga w jednym wymiarze

W układzie jednowymiarowym można nałożyć periodyczne warunki brzegowe $S_{N+1}=S_{1}.$

Hamiltonian dla takiego układu:

${\begin{aligned}H&=-J\sum _{i}S_{i}S_{i+1}-h\sum _{i}S_{i}=-J\sum _{i}S_{i}S_{i+1}-{\frac {1}{2}}h\sum _{i}S_{i}-{\frac {1}{2}}h\sum _{i}S_{i+1}=-\sum _{i}\left(JS_{i}S_{i+1}+{\frac {1}{2}}h(S_{i}+S_{i+1})\right)\\&=-\left(Js_{1}S_{2}+{\frac {1}{2}}h(S_{1}+S_{2})+Js_{2}S_{3}+{\frac {1}{2}}h(S_{2}+S_{3})+Js_{3}S_{4}+{\frac {1}{2}}h(S_{3}+S_{4})+\ldots +Js_{N}S_{1}+{\frac {1}{2}}h(S_{N}+S_{1})\right).\end{aligned}}$

Statystyczna suma stanów:

${\begin{aligned}Z&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp(-\beta H)=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta \sum _{i}\left(JS_{i}S_{i+1}+{\frac {1}{2}}h(S_{i}+S_{i+1})\right)\right]\\&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta \left(Js_{1}S_{2}+{\frac {1}{2}}h(S_{1}+S_{2})+Js_{2}S_{3}+{\frac {1}{2}}h(S_{2}+S_{3})+Js_{3}S_{4}+{\frac {1}{2}}h(S_{3}+S_{4})+\ldots +Js_{N}S_{1}+{\frac {1}{2}}h(S_{N}+S_{1})\right)\right]\\&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta \left(Js_{1}S_{2}+{\frac {1}{2}}h(S_{1}+S_{2})\right)\right]\exp \left[\beta \left(Js_{2}S_{3}+{\frac {1}{2}}h(S_{2}+S_{3})\right)\right]\exp \left[\beta \left(Js_{3}S_{4}+{\frac {1}{2}}h(S_{3}+S_{4})\right)\right]\ldots \exp \left[\beta \left(Js_{N}S_{1}+{\frac {1}{2}}h(S_{N}+S_{1})\right)\right]\\&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}M_{S_{1},S_{2}}M_{S_{2},S_{3}}\ldots M_{S_{N},S_{1}}=(*),\end{aligned}}$

gdzie:

$M_{S_{1},S_{2}}=M_{S_{2},S_{3}}=\ldots =M_{S_{N},S_{1}}=M_{S_{i},S_{i+1}}=M=\exp \left[\beta \left(Js_{i}S_{i+1}+{\frac {1}{2}}h(S_{i}+S_{i+1})\right)\right].$

Możliwe są cztery „warianty” M:

${\begin{matrix}&{\begin{matrix}s_{i}=-1&s_{i}=+1\end{matrix}}\\{\begin{matrix}s_{i+1}=-1\\s_{i+1}=+1\end{matrix}}&{\begin{bmatrix}e^{\beta (J-h)}&e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}&e^{\beta (J+h)}\end{bmatrix}}\end{matrix}}.$

Wracając więc do sumy statystycznej

$Z=(*)=Tr(M^{N})=Tr(M\cdot M\cdot M\cdot \ldots \cdot M)=(**).$

Macierz M można przedstawić w postaci $M=U^{\dagger }M^{D}U$ gdzie $M^{D}$ jest macierzą diagonalną, a $UU^{\dagger }=1$

$Z=(**)=Tr(U^{\dagger }M^{D}UU^{\dagger }M^{D}UU^{\dagger }\ldots M^{D}U)=Tr(U^{\dagger }(M^{D})^{N}U)=(***).$

$M^{D}$ jest macierzą diagonalną, jest więc postaci:

$M^{D}=\left({\begin{matrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{matrix}}\right).$

Natomiast $(M^{D})^{N}=\left({\begin{matrix}{\lambda _{1}}^{N}&0\\0&{\lambda _{2}}^{N}\end{matrix}}\right).$

Wyznaczenie wartości własnych dla M:

${\begin{aligned}\det M&=\det \left({\begin{matrix}{\exp(\beta J+\beta h)-\lambda }&{\exp(-\beta J)}\\{\exp(-\beta J)}&{\exp(\beta J-\beta h)-\lambda }\end{matrix}}\right)\\[.5em]&=\left(\exp {(\beta J+\beta h)}-\lambda \right)\left(\exp {(\beta J-\beta h)}-\lambda \right)-\exp(2\beta J)\\[.5em]&=2\sinh(2\beta J)-\lambda 2\exp(\beta J)\cosh(\beta h)+\lambda ^{2},\end{aligned}}$

$\lambda _{1}=\exp(\beta J)\left[\cosh(\beta h)+{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right],$

$\lambda _{2}=\exp(\beta J)\left[\cosh(\beta h)-{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right].$

Wybierając największą wartość własną macierzy:

$\lambda _{1}>\lambda _{2},$

otrzymujemy, że suma statystyczna jest równa:

$Z=(***)={\lambda _{1}}^{N}+{\lambda _{2}}^{N}={\lambda _{1}}^{N}\cdot \left(1+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{N}\right).$

Jeśli $\lambda _{2}<\lambda _{1}$ to: $\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{N}\ll 1.$

$Z={\lambda _{1}}^{N}.$

Faza stabilna jest określona przez największą wartość własną. Przejście fazowe (np. między fazą ferro i paramagnetyczną) zachodzi wtedy, gdy zrównują się wartości własne.

Namagnesowanie w takim wypadku jest równe:

${\begin{aligned}m&={\frac {1}{N}}kY{\frac {\partial }{\partial h}}\ln Z\\[.5em]&={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln \exp(\beta h)\cdot \left[\cosh(\beta h)+{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right]\\[.5em]&={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{\lambda _{1}}}\exp(\beta J)\cdot \left[\beta \sinh(\beta h)+{\frac {2\beta \sinh(\beta h)\cosh(\beta h)}{2{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}}\right]\\[.5em]&={\frac {\exp(\beta J)\sinh(\beta h)}{\lambda _{1}}}\cdot \left[{\frac {{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}+\cosh(\beta h)}{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}\right].\end{aligned}}$

Czyli ostatecznie namagnesowanie:

$m={\frac {\sinh(\beta h)}{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}.$

Bez zewnętrznego pola magnetycznego

Dla $h=0$ (czyli braku zewnętrznego pola magnetycznego) $m=0,$ czyli nie ma ferromagnetyzmu w układzie jednowymiarowym.