Postać Frobeniusa

Postać kanoniczna Frobeniusa macierzy $m\times m,$ nazywana w skrócie macierzą Frobeniusa (od nazwiska Ferdinanda Frobeniusa) – jedna z postaci kanonicznych normalnych macierzy kwadratowej. Definiuje się ją następująco:

$A={\begin{pmatrix}0&1&0&0&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\0&0&0&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&-c_{3}&\cdots &-c_{m-2}&-c_{m-1}\end{pmatrix}}$

Przykłady:

$A={\begin{pmatrix}0&1\\17&-5\end{pmatrix}}$

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\17&-5&0\\\end{pmatrix}}$

$A={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\17&-5&0&4\\\end{pmatrix}}$

Klasyfikacja

Zachodzi następujące twierdzenie Frobeniusa o klasyfikacji macierzy nad pierścieniem wielomianów, nazywane także lematem Frobeniusa:

Jeśli $K$ jest ciałem, a $K[X]$ jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad nim, to każda macierz nad pierścieniem $K[X]$ jest równoważna z dokładnie jedną macierzą kanoniczną Frobeniusa, to znaczy taką, która ma jedyne niezerowe elementy $d_{i}$ na miejscach $(i,i),$ przy czym niezerowe wielomiany $d_{i}$ są unormowane i wszystkie wielomiany $d_{i}$ spełniają warunek $d_{i}|d_{i+1}.$

Twierdzenie (z wyjątkiem jednoznaczności) zachodzi dla macierzy nad dowolnym pierścieniem ideałów głównych, nad pierścieniem euklidesowym jest szybki algorytm znajdowania postaci kanonicznej Frobeniusa. Dla macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych $\mathbb {Z}$ odpowiednia postać kanoniczna (z nieujemnymi elementami „diagonalnymi” $d_{i}$ dla jednoznaczności) nazywana jest postacią kanoniczną Smitha.

Elementy „diagonalne” $d_{i}$ nazywane są czynnikami niezmienniczymi macierzy. Dwie macierze tych samych rozmiarów nad pierścieniem ideałów głównych są równoważne, gdy ich czynniki niezmiennicze są stowarzyszone.

Jeśli $D_{i}$ jest największym wspólnym dzielnikiem minorów stopnia $i$ macierzy, to czynniki niezmiennicze tej macierzy wyrażają się wzorami:

$d_{1}=D_{1},$ $d_{i+1}=D_{i+1}|D_{i}.$

Zobacz też

• postać kanoniczna Jordana