Pseudookrąg

Pseudookrąg – przykład, o znaczeniu teoretycznym, spełniającej aksjomat $T_{0}$ , czteropunktowej skończonej przestrzeni topologicznej. Jest to najmniejsza, w sensie liczby punktów, przestrzeń topologiczna mająca nieskończoną grupę podstawową^[1].

Definicja

Pseudookrąg jest przestrzenią topologiczną określoną na zbiorze ${\mathcal {S}}^{1}=\{a,b,c,d\}$ , w której topologią jest rodzina

\{{\mathcal {S}}^{1},\{a,b,c\},\{a,c,d\},\{a,c\},\{a\},\{c\},\varnothing \}.

Topologia ta, podobnie jak topologia każdej $T_{0}$ -przestrzeni Aleksandrowa, odpowiada pewnemu częściowemu porządkowi^[1], który można przedstawić na poniższym diagramie Hassego

.

Bazą tej topologii są zbiory 'zniżkowe' względem wspomnianego uporządkowania, tj. zbiory postaci

U_{x}=\{y\in {\mathcal {S}}^{1}:y\leqslant x\}

dla

x\in {\mathcal {S}}^{1}

.

${\mathcal {S}}^{1}$ jest $T_{0}$ -przestrzenią Aleksandrowa, lecz nie jest przestrzenią $T_{1}$ .
Pseudookrąg jest słabo homotopijnie równoważny ze sferą $\mathbb {S} ^{1}$ (tj. okręgiem ze standardową topologią). Z tego wynika, że obie przestrzenie mają izomorficzne grupy homotopii oraz homologii. W szczególności, grupa podstawowa $\pi _{1}({\mathcal {S}}^{1})$ jest izomorficzna z grupą liczb całkowitych $\mathbb {Z}$ .
Pseudookrąg nie jest homotopijnie równoważny sferze $\mathbb {S} ^{1}$ ^[1]^[2].

↑ ^a ^b ^c J.A. Barmak: Algebraic Topology of Finite Spaces and Applications. Springer, 2011, s. 10-19. ISBN 978-3-642-22002-9. (ang.).
↑ M.C. McCord, Singular homology and homotopy groups of fnite topological spaces. Duke Math. J. 33 (1966), 465-474.