Równania telegrafistów

Równania telegrafistów (równania linii długiej) – pary liniowych równań różniczkowych, które opisują zmiany zespolonej amplitudy napięcia i prądu wzdłuż linii długiej z uwzględnieniem odległości oraz czasu. Równania zostały skonstruowane przez Oliviera Heaviside’a. Teoria dotyczy wysokoczęstotliwościowych linii długich (takich jak linie telegraficzne), ale jest również ważna dla projektowania linii przesyłowych o wysokim napięciu elektrycznym. Model najłatwiej przedstawić na elementarnym odcinku dwuprzewodowej linii długiej, w którym ważną rolę gra dobrze przewodzący metal wykorzystany w kablach oraz izolujący materiał dielektryczny zastosowany do oddzielenia przewodników. Proces zmian napięcia oraz prądu w takim modelu zakłada, że wywołanie przyrostu napięcia na jednym końcu linii nie daje natychmiastowego pojawienia się takiego samego przyrostu na drugim końcu linii. Przyjmuje się zatem, że propagacja zachodzi tylko w jednym wymiarze wzdłuż linii długiej.

Równania

Równania telegrafistów mogą być rozumiane jako uproszczony przypadek równań Maxwella. W praktyczniejszym podejściu przyjmuje się, że przewodniki składają się z nieskończonego szeregu składników elementarnych, z których każdy reprezentuje nieskończenie krótki odcinek linii przesyłowej:

• rozprowadzony opór $R$ przewodnika jest reprezentowany przez opornik szeregowy (wyrażony w omach na jednostkę długości)
• rozprowadzona indukcyjność $L$ jest przedstawiona przez cewkę indukcyjną (henr na jednostkę długości)
• pojemność elektryczna $C$ między dwoma przewodnikami jest reprezentowana przez kondensator bocznika $C$ (farad na jednostkę długości)
• przewodność czynna $G$ dielektrycznego materiału rozdzielającego dwa przewodniki jest reprezentowana przez upływność czynną (siemens na jednostkę długości)

Napięcie oraz prąd opisane są równaniami różniczkowymi, tylko i wyłącznie przy spełnieniu następujących dwóch założeń:

• $U(z,t)$ oraz $I(z,t)$ są harmonicznymi funkcjami czasu o przebiegu sinusoidalnymi i pulsacji $\omega$ (gdzie $U(z)$ – zespolona amplituda napięcia; $I(z)$ – zespolona amplituda prądu)

$U=Ue^{j\omega t}\quad I=Ie^{j\omega t},$

$A=R+j\omega L;\quad B=G+j\omega C;\quad \gamma ^{2}=AB;$

• Linia nie zmienia swoich wymiarów, średnicy przewodów, ich odległości oraz przenikalności izolatora otaczającego przewody.

Zespolone amplitudy prądu $U(z)$ i $I(z)$ jednorodnej linii długiej związane są prostymi równaniami różniczkowymi ze stałą $\gamma ,$ zwaną stałą propagacji

${\frac {d^{2}U}{dz^{2}}}-\gamma ^{2}U=0;\quad {\frac {d^{2}I}{dz^{2}}}-\gamma ^{2}I=0.$

Identyczne równania uzyskuje się z równań Maxwella dla pól $E$ i $H.$ Równania te zwane są równaniami falowymi.

Równania telegrafistów wyraża się za pomocą $R,L,C$ i $G$ by podkreślić, że wartości są pochodnymi w związku do długości.

Linia bezstratna

Kiedy elementy $R$ i $G$ są bardzo małe, to ich wpływ może być pominięty, a linia przesyłowa może być traktowana jak idealna struktura bezstratna. W tym przypadku model zależy tylko od elementów $L$ i $C$ i uzyskuje się parę równań różniczkowych pierwszego rzędu, w których jedna funkcja opisuje napięcie elektryczne $U$ wzdłuż kabla, zaś druga natężenie prądu, obie jako funkcje położenia $x$ i czasu $t{:}$

${\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t),$

${\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t).$

Ich kombinacja liniowa daje dwa równania funkcji falowych:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}U={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}U,$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I.$

W stanie stacjonarnym (zakładając falę sinusoidalną $E=E_{o}e^{-j\omega ({\frac {x}{c}}-t)}$), równania te redukują się do:

${\frac {\partial ^{2}U(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot U(x)=0,$

${\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}LC\cdot I(x)=0,$

gdzie $\omega$ – częstość fali w stanie stacjonarnym

Jeśli linia ma nieskończoną długość albo gdy jest skończona i ma określoną impedancję falową, równania dają rozwiązanie w postaci fali przemieszczającej się z prędkością $c={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

Linia stratna

Gdy elementy straty $R$ i $G$ nie są pomijalne, oryginalne równania różniczkowe opisujące segment elementarny linii przybiera postać:

${\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t),$

${\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-GV(x,t).$

Po zróżniczkowaniu pierwszego równania po $x$ i drugiego po $t$ oraz po dalszych przekształceniach algebraicznych uzyskuje się równania, z których każde zawiera tylko jedną niewiadomą:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}V+GRV,$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI.$

Kierunek propagacji fali

Powyższe równania wskazują na istnienie dwóch rozwiązań przemieszczania się fali, do przodu i do tyłu. Przyjmując uproszczenie linii bezstratnej (tj. $R=0$ i $G=0$), rozwiązanie można przedstawić równaniem:

$V(x,t)=f_{1}(\omega t-kx)+f_{2}(\omega t+kx),$

gdzie:

$k=\omega {\sqrt {LC}}={\frac {\omega }{v}},$

$k$ – liczba falowa (jednostka: radian na metr),

$\omega$ – częstość kołowa (radian na sekundę),

$f_{1}$ i $f_{2}$ – dowolne funkcje,

$v={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ – prędkość fazowa fali.

Ponieważ równania telegrafistów wiążą natężenie prądu z napięciem, można zapisać analogiczne równanie dla natężenia prądu

$I(x,t)={\frac {f_{1}(\omega t-kx)}{Z_{0}}}-{\frac {f_{2}(\omega t+kx)}{Z_{0}}},$

gdzie $Z_{0}$ jest impedancją falową linii przesyłowej, która dla linii bezstratnej jest dana przez:

$Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}.$