Ciąg uogólniony – rozszerzenie pojęcia ciągu na odwzorowania zbiorów skierowanych w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie zbieżności czy punktów skupienia . W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym. Ciąg uogólniony nazywa się też ciągiem Moore’a-Smitha (w skrócie MS-ciągiem), a w żargonie matematycznym ciąg uogólniony bywa nazywany netem (z angielskiego).
Definicja formalna
edytuj
Niech
X
{\displaystyle X}
niepustym zbiorem, a
(
Σ
,
⩽
)
{\displaystyle (\Sigma ,\leqslant )}
Ciągiem uogólnionym nazywamy dowolne odwzorowanie
S
:
Σ
→
X
{\displaystyle S:\Sigma \to X}
[1]
S
=
(
x
σ
)
σ
∈
Σ
{\displaystyle S=(x_{\sigma })_{\sigma \in \Sigma }}
S
=
{
x
σ
:
σ
∈
Σ
}
{\displaystyle S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \Sigma \}}
x
σ
{\displaystyle x_{\sigma }}
X
{\displaystyle X}
σ
∈
Σ
.
{\displaystyle \sigma \in \Sigma .}
Punkty skupienia i granica
edytuj
Niech
X
{\displaystyle X}
przestrzenią topologiczną . Punkt
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
punktem skupienia ciągu uogólnionego
S
=
{
x
σ
:
σ
∈
Σ
}
,
{\displaystyle S=\{x_{\sigma }\colon \;\sigma \in \Sigma \},}
⋀
U
⊆
X
⋀
σ
0
∈
Σ
⋁
σ
⩾
σ
0
x
σ
∈
U
,
{\displaystyle \bigwedge _{U\subseteq X}\bigwedge _{\sigma _{0}\in \Sigma }\bigvee _{\sigma \geqslant \sigma _{0}}x_{\sigma }\in U,}
gdzie
U
{\displaystyle U}
x
.
{\displaystyle x.}
Punkt
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
granicą ciągu uogólnionego
S
=
{
x
σ
:
σ
∈
Σ
}
,
{\displaystyle S=\{x_{\sigma }\colon \;\sigma \in \Sigma \},}
⋀
U
⊆
X
⋁
σ
0
∈
Σ
⋀
σ
⩾
σ
0
x
σ
∈
U
,
{\displaystyle \bigwedge _{U\subseteq X}\bigvee _{\sigma _{0}\in \Sigma }\bigwedge _{\sigma \geqslant \sigma _{0}}x_{\sigma }\in U,}
gdzie
U
,
{\displaystyle U,}
x
.
{\displaystyle x.}
Mówimy wtedy również, że
S
{\displaystyle S}
zbieżny do
x
.
{\displaystyle x.}
Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu
S
{\displaystyle S}
lim
S
{\displaystyle \lim S}
lim
σ
∈
Σ
S
.
{\displaystyle \lim _{\sigma \in \Sigma }S.}
Subtelniejsze ciągi uogólnione
edytuj
Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia podciągu .
Ciąg uogólniony
S
=
{
x
σ
′
:
σ
′
∈
Σ
′
}
{\displaystyle S=\{x_{\sigma '}\colon \;\sigma '\in \Sigma '\}}
subtelniejszym od ciągu
S
=
{
x
σ
:
σ
∈
Σ
}
,
{\displaystyle S=\{x_{\sigma }\colon \;\sigma \in \Sigma \},}
φ
:
Σ
′
→
Σ
,
{\displaystyle \varphi \colon \Sigma '\to \Sigma ,}
⋀
σ
0
∈
Σ
⋁
σ
0
′
∈
Σ
′
[
σ
′
⩾
σ
0
′
⇒
φ
(
σ
′
)
⩾
σ
0
]
.
{\displaystyle \bigwedge _{\sigma _{0}\in \Sigma }\bigvee _{\sigma _{0}'\in \Sigma '}\left[\sigma '\geqslant \sigma _{0}'\Rightarrow \varphi (\sigma ')\geqslant \sigma _{0}\right].}
⋀
σ
′
∈
Σ
′
x
φ
(
σ
′
)
=
x
σ
′
.
{\displaystyle \bigwedge _{\sigma '\in \Sigma '}x_{\varphi (\sigma ')}=x_{\sigma '}.}
Jeśli punkt
x
{\displaystyle x}
S
′
{\displaystyle S'}
S
,
{\displaystyle S,}
x
{\displaystyle x}
S
.
{\displaystyle S.}
Jeśli punkt
x
{\displaystyle x}
S
,
{\displaystyle S,}
S
′
.
{\displaystyle S'.}
Jeśli punkt
x
{\displaystyle x}
S
,
{\displaystyle S,}
S
′
,
{\displaystyle S',}
S
.
{\displaystyle S.}
Ciągi uogólnione w przestrzeniach topologicznych
edytuj
Odwzorowanie
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy
f
(
lim
σ
∈
Σ
x
σ
)
⊆
lim
σ
∈
Σ
f
(
x
σ
)
{\displaystyle f(\lim \limits _{\sigma \in \Sigma }x_{\sigma })\subseteq \lim _{\sigma \in \Sigma }f(x_{\sigma })}
Σ
→
X
{\displaystyle \Sigma \to X}
Punkt
x
{\displaystyle x}
X
{\displaystyle X}
punktem skupienia zbioru
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
S
=
{
x
σ
:
σ
∈
Σ
}
{\displaystyle S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \Sigma \}}
x
σ
∈
A
∖
{
x
}
{\displaystyle x_{\sigma }\in A\setminus \{x\}}
σ
∈
Σ
{\displaystyle \sigma \in \Sigma }
Punkt
x
{\displaystyle x}
X
{\displaystyle X}
domknięcia zbioru
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
S
=
{
x
σ
:
σ
∈
Σ
}
{\displaystyle S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \Sigma \}}
x
{\displaystyle x}
x
σ
∈
A
{\displaystyle x_{\sigma }\in A}
σ
∈
Σ
{\displaystyle \sigma \in \Sigma }
Zbiór
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
X
{\displaystyle X}
[1] Bibliografia
edytuj
Ryszard Engelking : Topologia Ogólna . Warszawa: PWN , 2007, s. 67-69.G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1999.
S. Gładysz: Wstęp do topologii , Warszawa: PWN, 1981. 
![{\displaystyle \bigwedge _{\sigma _{0}\in \Sigma }\bigvee _{\sigma _{0}'\in \Sigma '}\left[\sigma '\geqslant \sigma _{0}'\Rightarrow \varphi (\sigma ')\geqslant \sigma _{0}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e9573192d1bc2f45687e28ef038ecad0ad6aad)
