Miara zupełna

Miara zupełna – miara $\mu$ określona na przestrzeni mierzalnej $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ jest zupełna, gdy podzbiory zbiorów miary zero są mierzalne (a więc i w konsekwencji również miary zero). Innymi słowy, jeśli $A\in {\mathcal {A}},$ $\mu (A)=0$ i $E\subseteq A,$ to $E\in {\mathcal {A}}.$

Twierdzenie o rozszerzeniu miary mówi, że dla każdej miary $\mu$ określonej na przestrzeni mierzalnej $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ istnieje taka miara zupełna $\nu$ określona na najmniejszym σ-ciele zawierającym ${\mathcal {A}}$ i wszystkie podzbiory zbiorów miary $\mu$-zero, która pokrywa się z $\mu$ na ${\mathcal {A}}.$

Przykłady

• Miara Lebesgue’a i miara Dieudonnégo są zupełne.
• Przykładem miary, która nie jest zupełna jest miara Lebesgue’a obcięta do rodziny zbiorów borelowskich na prostej.
• Miara produktowa miar zupełnych nie musi być miarą zupełną: jeżeli $V$ jest niemierzalnym podzbiorem prostej (względem miary Lebesgue’a $l_{1}$), to zbiór $\{1\}\times V$ zawarty jest w zbiorze $\{1\}\times \mathbb {R}$ dla którego $(l_{1}\otimes l_{1})(\{1\}\times \mathbb {R} )=0\cdot \infty =0,$ ale sam zbiór $\{1\}\times V$ nie jest $(l_{1}\otimes l_{1})$-mierzalny.

Zobacz też

• przestrzeń metryczna
• przestrzeń zupełna
• zupełność