Wzory Viète’a – wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Ich nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka François Viète’a , który podał je w 1591 roku[1] .
François Viète - twórca wzorów Viète’a
Wzory Viète’a
edytuj
Niech
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
będą pierwiastkami wielomianu
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
…
+
a
1
x
+
a
0
,
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0},\;a_{n}\neq 0}
o współczynnikach zespolonych (w szczególności także rzeczywistych ). Wówczas prawdziwe są wzory
{
x
1
+
x
2
+
…
+
x
n
−
1
+
x
n
=
−
a
n
−
1
a
n
x
1
x
2
+
…
+
x
1
x
n
+
x
2
x
3
+
…
+
x
2
x
n
+
…
+
x
n
−
1
x
n
=
a
n
−
2
a
n
⋮
x
1
x
2
…
x
n
=
(
−
1
)
n
a
0
a
n
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\x_{1}x_{2}+\ldots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\ldots +x_{2}x_{n}+\ldots +x_{n-1}x_{n}={\tfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}}
nazywane wzorami Viète’a.
Powyższe wzory są prawdziwe również dla wielomianów w dowolnym pierścieniu przemiennym , przy założeniu, że wielomian ten ma w nim
n
{\displaystyle n}
pierwiastków.
Wielomian liniowy
edytuj
W przypadku wielomianu liniowego o współczynnikach rzeczywistych (lub ogólniej, zespolonych)
a
x
+
b
,
a
≠
0
{\displaystyle ax+b,\;a\neq 0}
wzory sprowadzają się do postaci:
x
1
=
−
b
a
.
{\displaystyle x_{1}=-{\tfrac {b}{a}}.}
Trójmian kwadratowy
edytuj
W przypadku trójmianu kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych[2] (lub ogólniej, zespolonych)
a
x
2
+
b
x
+
c
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c,\;a\neq 0}
wzory te przyjmują postać:
{
x
1
+
x
2
=
−
b
a
x
1
x
2
=
c
a
.
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\tfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}={\tfrac {c}{a}}\end{cases}}.}
Wzory te są prawdziwe również, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego
Δ
<
0
,
{\displaystyle \Delta <0,}
wówczas oczywiście oba pierwiastki
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
są zespolone nierzeczywiste.
Wielomian stopnia trzeciego
edytuj
Dla wielomianów stopnia trzeciego, postaci
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
,
a
≠
0
,
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\;a\neq 0,}
o pierwiastkach
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}
wzory te mają postać:
{
x
1
+
x
2
+
x
3
=
−
b
a
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
=
c
a
x
1
x
2
x
3
=
−
d
a
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}\end{cases}}}
Przypadek funkcji kwadratowej
edytuj
Niech
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
będą miejscami zerowymi funkcji kwadratowej
a
x
2
+
b
x
+
c
.
{\displaystyle ax^{2}+bx+c.}
Wówczas
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}+bx+c}
a
(
x
2
−
(
x
1
+
x
2
)
x
+
x
1
x
2
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=ax^{2}+bx+c}
−
a
(
x
1
+
x
2
)
x
+
a
x
1
x
2
=
b
x
+
c
{\displaystyle -a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}=bx+c}
Ponieważ dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy przy odpowiednich potęgach mają równe współczynniki, mamy:
{
−
a
(
x
1
+
x
2
)
=
b
a
x
1
x
2
=
c
{\displaystyle {\begin{cases}-a(x_{1}+x_{2})=b\\ax_{1}x_{2}=c\end{cases}}}
a stąd wzory wspomniane wyżej.
Przypadek ogólny
edytuj
Aby udowodnić wzory Viète’a, piszemy równość
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
…
+
a
1
x
+
a
0
=
a
n
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
…
(
x
−
x
n
)
{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\dots (x-x_{n})}
(która jest prawdziwa, gdyż
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
są wszystkimi pierwiastkami wielomianu), dokonujemy mnożenia po prawej stronie i przyrównujemy współczynniki. Otrzymujemy
{
a
n
(
x
1
+
x
2
+
…
+
x
n
−
1
+
x
n
)
=
−
a
n
−
1
a
n
(
x
1
x
2
+
…
+
x
1
x
n
+
x
2
x
3
+
…
+
x
2
x
n
+
…
+
x
n
−
1
x
n
)
=
a
n
−
2
⋮
a
n
x
1
x
2
…
x
n
=
(
−
1
)
n
a
0
{\displaystyle {\begin{cases}a_{n}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n-1}+x_{n})=-a_{n-1}\\a_{n}(x_{1}x_{2}+\ldots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\ldots +x_{2}x_{n}+\ldots +x_{n-1}x_{n})=a_{n-2}\\\vdots \\a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}a_{0}\end{cases}}}
czyli
{
x
1
+
x
2
+
…
+
x
n
−
1
+
x
n
=
−
a
n
−
1
a
n
x
1
x
2
+
…
+
x
1
x
n
+
x
2
x
3
+
…
+
x
2
x
n
+
…
+
x
n
−
1
x
n
=
a
n
−
2
a
n
⋮
x
1
x
2
…
x
n
=
(
−
1
)
n
a
0
a
n
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\x_{1}x_{2}+\ldots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\ldots +x_{2}x_{n}+\ldots +x_{n-1}x_{n}={\tfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}}
Bibliografia
edytuj
Linki zewnętrzne
edytuj