Układ dynamiczny

Układ dynamiczny – model matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie konkretnych zjawisk, m.in. w teorii sterowania. Układy złożone są najczęściej symulowane komputerowo. Niektóre układy dynamiczne mogą wykazywać właściwości chaotyczne, najprostszym przykładem jest odwzorowanie logistyczne.

W odróżnieniu od układu statycznego, którego stan w danej chwili t jest zależny wyłącznie od wartości parametrów w chwili t, układ dynamiczny zależy także od parametrów z przeszłości. Innymi słowy system dynamiczny wymaga pamięci na temat poprzednich stanów aby wytworzyć wynik. Można go także określić jako układ z pamięcią, czyli układ, którego zachowanie zależy od stanu pamięci i zadanego wymuszenia.

Typy układów dynamicznych

Gładkie

(pochodzą od autonomicznych równań różniczkowych)

$X$ – zbiór z pewną strukturą różniczkowalną,

$(T_{t})$ – rodzina odwracalnych przekształceń różniczkowalnych (dyfeomorfizmów) spełniających warunek $T_{t}{\circ }T_{s}=T_{t+s}.$

Topologiczne

(dziedzina: dynamika topologiczna)

Niech $\mathbf {X}$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $\varphi :\mathbf {X} \times \mathbb {R} \to \mathbf {X}$ niech będzie odwzorowaniem. Parę $\left(\mathbf {X} ,\varphi \right)$ nazywa się układem dynamicznym, jeżeli dla wszystkich $x\in \mathbf {X}$ oraz $t,s\in \mathbb {R}$ zachodzą warunki:

$\varphi (x,0)=x,$

$\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,t+s)$

oraz $\varphi$ jest odwzorowaniem ciągłym.

Interpretacja

Interpretacja tej definicji może być następująca:

Przestrzeń $\mathbf {X}$ jest zbiorem wszystkich możliwych stanów, w których może znajdować się pewien fizyczny układ. Zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ reprezentuje oś czasu. Punkt $\varphi (x,t)$ jest interpretowany jako stan układu po upływie czasu $t,$ jeżeli wiemy, iż układ ten był w chwili $t=0$ w stanie $x.$ Warunek drugi powyższej definicji mówi w istocie o tym, że sposób ewolucji początkowego stanu układu nie zależy od czasu, w którym ta ewolucja przebiega.

Teoriomiarowe

(dziedzina: teoria ergodyczna)

$(X,{\mathcal {F}},\mu )$ – przestrzeń z miarą (zwykle probabilistyczna), $T\colon X\to X$ – odwzorowanie mierzalne, o którym często zakłada się, że zachowuje miarę, tzn. $\mu (B)=\mu (T^{-1}B)$ dla $B\in {\mathcal {F}}.$

Przykładami takich odwzorowań są: przekształcenie piekarza oraz przesunięcie w lewo dla uogólnionego schematu Bernoulliego (układu Bernoulliego), albo np.

$Tx=2x\mod 1$ dla $x\in X=[0,1].$

Zobacz też

• układ statyczny
• przestrzeń fazowa (przestrzeń stanów)
• przestrzeń konfiguracyjna