Twierdzenie Rainwatera

Twierdzenie Rainwatera – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że ciąg ograniczony $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ w przestrzeni Banacha $X$ jest słabo zbieżny do pewnego elementu $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu ekstremalnego $f$ kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej $X^{*}$ zachodzi warunek

$\lim _{n\to \infty }\langle f,x_{n}\rangle =\langle f,x\rangle$.

Innymi słowy, twierdzenie Rainwatera mówi, że w celu badania słabej zbieżności ciągu w przestrzeni Banacha wystarczy ograniczyć się do sprawdzania słabej zbieżności na punktach ekstremalnych kuli dualnej. Twierdzenie zostało udowodnione przez grupę matematyków publikujących pod wspólnym pseudonimem John Rainwater.

Zastosowanie do przestrzeni funkcji ciągłych

Niech $K$ będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech $C(K)$ oznacza przestrzeń Banacha rzeczywistych funkcji ciągłych na $K$ z normą supremum. Punkty ekstremalne kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej $C(K)^{*}$ są postaci $\pm \delta _{x},$ gdzie $\langle \delta _{x},f\rangle =f(x)$ $(x\in K,f\in C(K)).$ Z twierdzenia Rainwatera wynika, że jeżeli ograniczony ciąg $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ elementów przestrzeni $C(K)$ jest zbieżny punktowo do pewnej funkcji ciągłej $f,$ to jest on zbieżny do $f$ w słabej topologii przestrzeni $C(K)$.

Bibliografia

• Joseph Diestel, John Jerry (Jr.) Uhl: Vector Measures. Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
• Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Springer-Verlag, 1984, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-90859-5.
• Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos, Václav Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, Springer-Verlag New York, 2011. ISBN 978-1-4419-7514-0.