Wzór Möbiusa

Wzór Möbiusa (twierdzenie Möbiusa o odwracaniu, odwracanie Möbiusa) – w matematyce to twierdzenie wiążące funkcje arytmetyczne z funkcją Möbiusa. Wzór pojawił się po raz pierwszy w pracach Dedekinda i Liouville’a w 1857r., 15 lat po wprowadzeniu przez Möbiusa funkcji $\mu$.

Postać wzoru

Twierdzenie. Niech dane będą funkcje arytmetyczne $f$ i $g.$ Następujące relacje są sobie równoważne:

$g(n)=\sum _{d|n}f(d)$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right),$

gdzie $\mu (d)$ jest funkcją Möbiusa. Stosując oznaczenie splotu Dirichleta oznacza to, że $g=f*1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f=\mu *g$.

Dowód. Przez $1(n)$ oznaczamy funkcję arytmetyczną, która dla wszystkich argumentów przyjmuje własność 1. Pierwsze równanie opisuje zależność $f=g*1.$ Wiedząc, że funkcja $u$ jest odwrotna do funkcji $\mu$ względem splotu Dirichleta możemy zapisać $f*\mu =g*1*\mu =g,$ lewa strona równości odpowiada drugiemu równaniu powyżej, to kończy dowód.

Postać multiplikatywna

Rozważając odwracanie Möbiusa dla odpowiednio zdefiniowanych funkcji arytmetycznych ${\tilde {f}},$ ${\tilde {g}}$ i przyjmując $f(n)=\exp({\tilde {f}}(n))$ i $g(n)=\exp({\tilde {g}}(n)),$ twierdzenie możemy zapisać następująco.

Dla danych funkcji arytmetycznych $f$ i $g,$ zachodzi równość

$g(n)=\prod _{d|n}f(d)$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$f(n)=\prod _{d|n}g\left({\frac {n}{d}}\right)^{\mu (d)}.$

Uogólnione odwracanie Möbiusa

Twierdzenie Möbiusa można uogólnić na funkcje niebędące funkcjami arytmetycznymi, ale o określonych własnościach. Uogólnioną postać wykorzystuje się szczególnie w analitycznej teorii liczb.

Twierdzenie. Niech $F,G$ będą funkcjami określonymi na zbiorze $(0,\infty )$ przyjmującymi wartości rzeczywiste lub zespolone, przy czym $F(x)=G(x)=0$ dla $0<x<1.$ Ponadto, niech $\alpha$ będzie funkcją arytmetyczną o odwrotności względem splotu $\alpha ^{-1}.$ Wówczas

$G(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha (n)F\left({\frac {x}{n}}\right)$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$F(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha ^{-1}(n)G\left({\frac {x}{n}}\right).$

W szczególności, jeśli $\alpha$ jest całkowicie multiplikatywna, to $\alpha ^{-1}(n)=\mu (n)\alpha (n)$ i wówczas

$G(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha (n)F\left({\frac {x}{n}}\right)$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$F(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)\alpha (n)G\left({\frac {x}{n}}\right).$

Zapis ${\textstyle \sum _{n\leqslant x}}$ oznacza tutaj sumę po wszystkich liczbach $n$ całkowitych dodatnich mniejszych lub równych danej liczbie rzeczywistej $x.$

Dowód. Oznaczając przez $\alpha \circ F$ funkcję

$(\alpha \circ F)(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha (n)F\left({\frac {x}{n}}\right),$

możemy wykazać, że dla dowolnych funkcji arytmetycznych $\alpha$ i $\beta$ oraz funkcji $F$ zdefiniowanej na $(0,\infty )$ zachodzi łączność działania $\circ ,$ tzn.

$\alpha \circ (\beta \circ F)=(\alpha *\beta )\circ F.$

Dla $x>0$ mamy

$\alpha \circ (\beta \circ F)(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha (n)\sum _{m\leqslant {\frac {x}{n}}}\beta (m)F\left({\frac {x}{mn}}\right)=\sum _{mn\leqslant x}\alpha (n)\beta (m)F\left({\frac {x}{mn}}\right)=\sum _{k\leqslant x}\left(\sum _{n|k}\alpha (n)\beta \left({\frac {k}{n}}\right)\right)F\left({\frac {x}{k}}\right).$

Występująca suma po składnikach $\alpha (n)\beta (k/n)$ to w istocie splot Dirichleta $(\alpha *\beta )(k),$ więc równość zachodzi. Stąd, jeśli $G=\alpha \circ F,$ to

$\alpha ^{-1}\circ G=\alpha ^{-1}\circ (\alpha \circ F)=(\alpha ^{-1}*\alpha )\circ F=\epsilon \circ F=F,$

gdzie $\epsilon (1)=1$ i $\epsilon (n)=0$ dla $n>1.$

Przykłady

Tocjent Eulera

Niech $\varphi$ będzie tocjentem, tzn. dla dowolnej liczby całkowitej $n\geqslant 1$ niech $\varphi (n)$ oznacza liczbę liczb całkowitych $1\leqslant k\leqslant n$ względnie pierwszych z $n.$ Znane twierdzenie Eulera mówi, że

$n=\sum _{d|n}\varphi (d).$

Twierdzenie Möbiusa mówi, że jest to równoważne relacji

$\varphi (n)=\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}=n\sum _{d|n}{\frac {\mu (d)}{d}}.$

Tę tożsamość możemy wykorzystać chociażby, aby uzasadnić, że średni rząd funkcji $\varphi (n)$ wynosi ${\tfrac {3}{\pi ^{2}}}n.$ Mamy

$\sum _{n\leqslant x}\varphi (n)=\sum _{n\leqslant x}\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}=\sum _{qd\leqslant x}\mu (d)q=\sum _{d\leqslant x}\mu (d)\sum _{q\leqslant x/d}q=\sum _{d\leqslant x}\mu (d)\left({\frac {x^{2}}{2d}}+O\left({\frac {x}{d}}\right)\right)={\frac {1}{2}}x^{2}\sum _{d\leqslant x}{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}+O\left(x\sum _{d\leqslant x}{\frac {1}{d}}\right).$

Suma ${\textstyle \sum \mu (d)/d^{2}}$ przy $x\to \infty$ dąży do wartości odwrotności funkcji zeta, $\zeta (2)^{-1}={\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.$ Suma w błędzie szacowania jest sumą częściową szeregu harmonicznego, więc jest rzędu logarytmu naturalnego. Dlatego

$\sum _{n\leqslant x}\varphi (n)={\frac {3}{\pi ^{2}}}x^{2}+O(x\log x).$

Stąd wynika już wprost, że

$\sum _{n\leqslant x}\varphi (n)\sim {\frac {3}{\pi ^{2}}}\sum _{n\leqslant x}n.$

Zobacz też

• funkcja Möbiusa
• splot Dirichleta