Zasada kwadratu Jensena

Zasada kwadratu Jensena – zdanie w teorii mnogości, oznaczane przez $\Box ,$ podobne w swej naturze do diamentu Jensena ◊, postulujące istnienie pewnego ciągu specjalnych podzbiorów $\kappa ^{+}$ (następnik liczby kardynalnej $\kappa$ ), który w pewnym sensie koduje każdy podzbiór $\kappa .$ Zdanie to jest niezależne od standardowych aksjomatów ZFC, to znaczy zdania tego nie można udowodnić na gruncie tych aksjomatów ani nie można go obalić. Ponieważ ma ono wiele ciekawych konsekwencji, jest traktowane przez matematyków jako dodatkowy aksjomat, który może być zakładany, jeśli wymaga tego dowód.

Zasada kwadratu Jensena została wprowadzona przez amerykańskiego matematyka Ronalda Jensena. Jedną z motywacji do rozważania tego zdania jest jego prawdziwość w uniwersum konstruowalnym L oraz fakt, iż wiele studiowanych wcześniej własności L okazało się być konsekwencjami $\Box .$

Sformułowanie

Niech $\kappa$ będzie liczbą kardynalną.

\square _{\kappa }{:}

Istnieje taki (pozaskończony) ciąg

\{C_{\alpha }:\alpha \in \kappa ^{+}

jest liczbą porządkową graniczną}, że

$C_{\alpha }\subseteq \alpha$ oraz $C_{\alpha }$ jest domknięty i nieograniczony w $\alpha ;$
jeżeli kofinalność $\alpha$ jest mniejsza od $\kappa ,$ to typ porządkowy $C_{\alpha }$ jest mniejszy od $\kappa ;$
jeżeli $\beta$ jest punktem skupienia zbioru $C_{\alpha },$ to $C_{\alpha }\cap \beta =C_{\beta }$ ^[1].

Zasada kwadratu Jensena to zdanie:

\square {:}

dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej

\kappa

zachodzi

\square _{\kappa }.

Uwagi

Zdanie $\square _{\omega }$ jest konsekwencją teorii ZFC, natomiast dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej $\kappa$ zdanie $\square _{\kappa }$ jest niezależne od ZFC.
Aksjomat V = L pociąga zasadę kwadratu Jensena^[2].
Robert M. Solovay udowodnił, że jeżeli $\kappa$ jest liczbą większą od pewnej liczby super-zwartej, to $\square _{\kappa }$ nie zachodzi.
Stevo Todorčević udowodnił, że PFA pociąga, że dla każdej nieprzeliczalnej liczby $\kappa$ zasada $\square _{\kappa }$ nie zachodzi^[3].

Przypisy

↑ J. Cummings, M. Foreman, M. Magidor, Squares, scales and stationary reflection, „J. Math. Logic” 1 (2001), no. 1, s. 35–98.
↑ R. Björn Jensen, The ﬁne structure of the constructible hierarchy, „Ann. Math. Logic”, 4, s. 229–308; erratum, ibid. 4 (1972), 443, 1972. With a section by Jack Silver.
↑ S. Todorčević, Trees and linearly ordered sets, w: K. Kunen, J.E. Vaughan, Handbook of Set-Theoretic Topology, eds. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1984, s. 235–293.

Bibliografia

Thomas Jech: Set theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Berlin: Springer-Verlag, 2002. ISBN 3-540-44085-2.

[1] J. Cummings, M. Foreman, M. Magidor, Squares, scales and stationary reflection, „J. Math. Logic” 1 (2001), no. 1, s. 35–98.

[2] R. Björn Jensen, The ﬁne structure of the constructible hierarchy, „Ann. Math. Logic”, 4, s. 229–308; erratum, ibid. 4 (1972), 443, 1972. With a section by Jack Silver.

[3] S. Todorčević, Trees and linearly ordered sets, w: K. Kunen, J.E. Vaughan, Handbook of Set-Theoretic Topology, eds. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1984, s. 235–293.

[1]

[2]

[3]