Otwórz menu główne

Analiza czynnikowa – metoda statystyczna, której celem jest opisanie zależności między zaobserwowanymi, skorelowanymi zmiennymi przy pomocy możliwie mniejszej liczby zmiennych nieobserwowanych nazywanych czynnikami bądź faktorami, które są wzajemnie nieskorelowane. Prekursorem analizy czynnikowej był Charles Spearman.

Zmienne obserwowane są następnie modelowane jako suma odpowiednich kombinacji liniowych nowych zmiennych nieobserwowanych oraz błędu pomiaru (zob. biały szum).

Analiza czynnikowa jest powszechnie używana w biologii, psychologii (przy analizie struktury zjawisk badanych przez narzędzia kwestionariuszowe), marketingu, teorii decyzji oraz innych dziedzinach wiedzy.

Model statystycznyEdytuj

Niech dany będzie zbiór   zaobserwowanych zmiennych losowych   o średnich   odpowiednio. Załóżmy, że dla pewnych (nieznanych) stałych   oraz   zmiennych   (tzw. czynników czy faktorów), gdzie   i   mamy związek

 

przy czym zmienne   są interpretowane jako błędy będące zmiennymi o zerowej wartości oczekiwanej i skończonej wariancji. Powyższy związek można zapisać macierzowo jako

 

Mając   obserwacji, powyżej   jest macierzą     jest macierzą   natomiast   jest macierzą   Każda kolumna macierzy   i   oznacza wartości odpowiadające obserwacjom natomiast macierz   nie zależy od obserwacji.

Ponadto, o macierzy losowej   zakłada się, że:

  1. jest ona niezależna od  
  2.  
  3.   jest macierzą identyczności, co oznacza, że faktory są parami nieskorelowane.

Celem analizy czynnikowej jest wyznaczanie par macierzy   i   które spełniają powyższe równania i warunki.

Oznaczając

 

można zapisać:

 

bądź równoważnie

 

Niejednoznaczność rozwiązańEdytuj

Dla każdej macierzy ortogonalnej   stopnia   kładąc   oraz   tak zdefiniowane macierze spełniają powyższe warunki, o ile tylko   i   je spełniają, tzn. zbiór rozwiązań problemu jest niejednoznaczny oraz niezmienniczy ze względu na przekształcenia ortogonalne.

PodejściaEdytuj

W analizie czynnikowej istnieją dwa podejścia:

  • eksploracyjna analiza czynnikowa (EFA, od ang. exploratory factor analysis) – czynniki są początkowo nieznane i zostają wyodrębnione dzięki analizie wartości zmiennych losowych,
  • konfirmacyjna analiza czynnikowa (CFA, od ang. confirmatory factor analysis) – zakładamy istnienie pewnego określonego zbioru czynników i dzięki analizie wartości zmiennych losowych badamy zasadność naszego przypuszczenia i estymujemy parametry naszego modelu (modelowanie równań strukturalnych).

Jest wiele metod analizy czynnikowej, jednak najbardziej popularne są dwie:

Niezależnie od metody, rozpoczynamy od budowy macierzy korelacji i sprawdzenia, czy możliwe jest zastosowanie analizy czynnikowej.

BibliografiaEdytuj

  • Harry H. Harman, Modern Factor Analysis. 3rd Edition, The University of Chicago Press, Chicago 1976.