Szerokość połówkowa

Szerokość połówkowa (ang. full width at half maximum, FWHM, szerokość w połowie wysokości) – wielkość liczbowa używana do opisu szerokości „wybrzuszeń” krzywej lub funkcji. Równa się ona odległości między dwoma punktami na krzywej w których funkcja przyjmuje połowę swojej maksymalnej wartości.

Szerokość połówkowa

Pojęcie to jest używane w zastosowaniach matematyki (w telekomunikacji, teorii informacji, teorii sygnałów, astronomii i innych).

Definicja formalna

Niech $f$ będzie funkcją określoną na pewnym przedziale $D$ (skończonym lub nie) przyjmującą wartości rzeczywiste. Ponadto, załóżmy, że $f$ osiąga wartość największą $m$ (w pewnym punkcie dziedziny) oraz przyjmuje wartość ${\frac {m}{2}}$ w dokładnie dwóch punktach $x_{1},x_{2}\in D.$ Wtedy

$\operatorname {FWHM} =\operatorname {FWHM} (f)=|x_{1}-x_{2}|.$

Powyższa definicja ma sens dla dużej klasy funkcji, ale rozważa się ją głównie dla funkcji ciągłych, wklęsłych i o wartościach dodatnich (czyli właśnie „wybrzuszeń”). Często własności te uzyskuje się dopiero po obcięciu funkcji do pewnego przedziału skończonego.

Przykłady

• Niech funkcja $f$ będzie gęstością rozkładu normalnego. Wówczas

$\operatorname {FWHM} =\operatorname {FWHM} (f)=2{\sqrt {2\ln {2}}}\sigma \approx 2{,}35\sigma ,$

gdzie $\sigma$ to odchylenie standardowe.

• Niech $g$ będzie funkcją sinus obciętą do odcinka $[0,\pi ].$ Wtedy

$\operatorname {FWHM} =\operatorname {FWHM} (g)={\frac {2}{3}}\pi .$

• Niech $h$ będzie funkcją $h(x)=1-{\frac {|x|}{a}},$ gdzie $a$ jest stałą dodatnią. Wtedy

$\operatorname {FWHM} =\operatorname {FWHM} (h)=a.$