Forma modularna

Forma modularna – funkcja zmiennej zespolonej spełniająca pewien warunek regularności, pewne równanie funkcyjne oraz o ograniczonym wzroście. Formy modularne można rozpatrywać jako daleko posunięte uogólnienie funkcji okresowych. Teoria form modularnych jest bardzo bogata i należy w zasadzie do analizy zespolonej, ale najważniejsze zastosowania te obiekty mają we współczesnej teorii liczb i teorii reprezentacji, tam też ujawniają swoje najgłębsze własności. Formy modularne w naturalny sposób pojawiają się w bardzo wielu gałęziach matematyki, np. w geometrii algebraicznej czy teorii strun.

Definicja formalna

Niech $N$ będzie dodatnią liczbą naturalną. Grupa modularna $\Gamma _{0}(N)$ zdefiniowana jest w sposób następujący:

\Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}(\mathbb {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}.

Niech $k$ będzie dodatnią liczbą naturalną. Formą modularną ciężaru $k$ poziomu $N$ nazywa się funkcję holomorficzną określoną na górnej półpłaszczyźnie zespolonej $\mathbb {H}$ taką, że dla każdego

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)

i dowolnego $z\in \mathbb {H}$ zachodzi

f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)

oraz $f$ jest holomorficzna w ostrzach.

Wersje definicji

W literaturze matematycznej występuje wiele definicji form modularnych, niektóre z nich różnią się między sobą poziomem ogólności. Nie wykrystalizowała się dotychczas „kanoniczna” definicja formy modularnej. Definicja podana powyżej wydaje się najbardziej ogólną z wielu spotykanych wariantów.

Własności

Łatwo zauważyć (biorąc w definicji $a=b=d=1,\ c=0$ ), że każda forma modularna spełnia równanie

f(z+1)=f(z),

tak więc można ją rozwinąć w szereg Fouriera. W teorii form modularnych przyjęło się rozważać ten szereg jako szereg Laurenta względem zmiennej $q=exp(2\pi iz).$ Ze względu na warunek holomorficzności, rozwinięcie takie musi mieć skończoną liczbę wyrazów przy ujemnych potęgach, przedstawia się więc wzorem: