Otwórz menu główne

Gaz Fermiego

(Przekierowano z Gaz elektronowy)

Gaz Fermiego, (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) jest to model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.

Opis matematycznyEdytuj

Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Foka można zapisać wykorzystując operatory kreacji i anihilacji:

 

gdzie

En – energia n-tego stanu
μpotencjał chemiczny

Energia wewnętrzna gazu FermiegoEdytuj

Do dalszych obliczeń przyjmiemy μ = 0.

Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:

 

gdzie

 gęstość stanów
m – masa fermionów
hstała Plancka
V – objętość, w której znajdują się fermiony
 rozkład Fermiego-Diraca
  – czynnik Boltzmanna
 

Stosując proste podstawienie otrzymujemy:

 

Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2  . Ostatecznie otrzymujemy:

 

Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:

 

otrzymujemy:

 

Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:

 

Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.

Ciśnienie gazu FermiegoEdytuj

Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:

 

Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy

 

gdzie

n – liczba cząstek w danej objętości, nazywana koncentracją cząstek. Stąd

 

Zobacz teżEdytuj