Gaz Fermiego

(Przekierowano z Gaz elektronowy)

Gaz Fermiego (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) – model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.

Opis matematycznyEdytuj

Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Foka można zapisać, wykorzystując operatory kreacji i anihilacji:

 

gdzie:

  – energia  -tego stanu,
 potencjał chemiczny.

Energia wewnętrzna gazu FermiegoEdytuj

Do dalszych obliczeń przyjmiemy  

Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:

 

gdzie:

 gęstość stanów,
  – masa fermionów,
 stała Plancka,
  – objętość, w której znajdują się fermiony,
 rozkład Fermiego-Diraca,
  – czynnik Boltzmanna,
 

Stosując proste podstawienie otrzymujemy:

 

Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2   Ostatecznie otrzymujemy:

 

Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:

 

otrzymujemy:

 

Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:

 

Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.

Ciśnienie gazu FermiegoEdytuj

Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:

 

Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy

 

gdzie:

  – liczba cząstek w danej objętości, nazywana koncentracją cząstek. Stąd
 

Zobacz teżEdytuj