Przestrzeń Focka

(Przekierowano z Przestrzeń Foka)

Przestrzeń Focka nad przestrzenią Hilberta przestrzeń Hilberta, która jest sumą prostą przestrzeni utworzonych z danej przestrzeni oraz jej iloczynów tensorowych itd. W zastosowaniu do opisu stanów cząstek kwantowych, ze względu na nieodróżnialność cząstek danego typu (elektronów, fotonów, atomów helu itp.) powyższe iloczyny tensorowe muszą być dodatkowo poddane symetryzacji bądź antysymetryzacji (objaśniono to w artykule). Dlatego definiuje się trzy typy przestrzeni Focka:

  • pełną przestrzeń Focka (dla cząstek odróżnialnych),
  • symetryczną (dla bozonów),
  • antysymetryczną (dla fermionów).

Wektor przestrzeni Focka prezentuje stan układu kwantowego cząstek danego typu, który w ogólności jest superpozycją stanów kwantowych układów zawierających 0, 1, 2 itd. tych cząstek. Pozwala to na algebraizację opisu zmian stanów kwantowych za pomocą operatorów kreacji i anihilacji.

W teorii prawdopodobieństwa elementy przestrzeni Focka interpretuje się jako zmienne losowe[1].

Nazwa przestrzeni pochodzi od rosyjskiego fizyka Władimira A. Focka, który jako pierwszy zdefiniował ją w roku 1932[2] dla funkcji całkowalnych z kwadratem na prostej z miarą Lebesgue’a. Ścisła matematyzacja pojęcia pochodzi od J.M. Cooka[3].

Symetryczny i antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni HilbertaEdytuj

Niech   oraz   oznacza grupę permutacji zbioru  

Definicja 1.

Iloczynem tensorowym symetrycznym elementów   nazywamy element przestrzeni tensorowej   taki że

 

Definicja 2.

Iloczynem tensorowym antysymetrycznym elementów   nazywamy element przestrzeni tensorowej   taki że

 

gdzie  znak permutacji   (co w tym kontekście oznacza również symbol Leviego-Civity).

Definicja 3.

n-tym symetrycznym iloczynem tensorowym przestrzeni   nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej zawartej w przestrzeni   generowanej przez wektory   gdzie   przebiegają całą przestrzeń  

Definicja 4.

n-tym antysymetrycznym iloczynem tensorowym przestrzeni   nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni   generowanej przez wektory   gdzie   przebiegają całą przestrzeń  

Oznaczenia:

 n-ty symetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni  

 n-ty antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni  

Iloczyny tensorowe symetryczny   oraz antysymetryczny   tworzą więc podprzestrzenie pełnego iloczynu tensorowego   przestrzeni Hilberta.

Przestrzeń Hilberta układu n cząstek. Symetryzacja/antysymetryzacjaEdytuj

Konstrukcja przestrzeni Focka przebiega następująco:

(1) Konstruuje się przestrzenie Hilberta n-cząstkowe   tzn.

A. Jeżeli   jest przestrzenią Hilberta wszystkich możliwych stanów pojedynczej cząstki (np. 1 elektronu, 1 fotonu, 1 atomu helu itp.), to

A. iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

 

zawiera stany układu składającego się z dwóch cząstek tego samego typu (tj. np. 2 elektronów, 2 fotonów, 2 atomów helu itp.).

B. Analogicznie przestrzeń

 

zawiera stany układu   cząstek tego samego typu.

C. W przypadku układów kwantowych przestrzenie   są za duże, bo zawierają stany, z których tylko niektóre są stanami układów kwantowych. Mianowicie: cząstki kwantowe są nieodróżnialne i dlatego ich stany kwantowe są stanami symetrycznymi (w przypadku bozonów, np. fotonów) lub antysymetrycznymi (w przypadku fermionów, np. elektronów). Dlatego tworząc przestrzenie Hilberta dla   cząstek kwantowych trzeba dodatkowo zredukować powyższe iloczyny tensorowe   poprzez utworzenie symetrycznych bądź antysymetryzacji iloczynów tensorowych. Opisano to w poprzednim rozdziale.

Definicja przestrzeni Focka: pełnej, symetrycznej i antysymetrycznejEdytuj

Przestrzenią Focka pełną/symetryczną/antysymetryczną nazywa się sumę prostą iloczynów tensorowych przestrzeni Hilberta   zwyczajnego/symetrycznego/antysymetrycznego, czyli

  • pełną przestrzenią Focka (inne nazwy: wolna przestrzeń Focka, przestrzeń Maxwella-Boltzmana) nad   jest przestrzeń
 

Inne oznaczenia:   bądź  

  • symetryczną przestrzenią Focka (inna nazwa: bozonowa przestrzeń Focka) nad   jest przestrzeń
 

Inne oznaczenia:  

  • antysymetryczną przestrzenią Focka (inna nazwa: fermionowa przestrzeń Focka) nad   jest przestrzeń
 

Inne oznaczenia:  

Symbol sumy prostej, użyty powyżej, oznacza sumę prostą przestrzeni Hilberta. W szczególności, wszystkie zdefiniowane wyżej przestrzenie są przestrzeniami Hilberta.

W każdym z powyższych przypadków  -ty składnik sumy prostej nazywany jest podprzestrzenią stanów (wektorów) układu  cząstek.

Każdy element   pełnej (odpowiednio, symetrycznej i antysymetrycznej) przestrzeni Focka jest postaci

 

(często dla skrócenia zapisu pisze się   bądź  ), gdzie   jest elementem przestrzeni   (odpowiednio,    ) oraz

 

Wektor

  (zapisywany często w postaci sumy prostej  )

nazywany jest wektorem próżni (stanem próżni) i oznaczany symbolem   bądź  

Przestrzeń liniowa   generowana przez wektory postaci   gdzie   przebiega zbiór liczb naturalnych, a   przestrzeń   tj.

 

jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni   Przestrzeń   nazywana jest przestrzenią skończonej liczby cząstek.

Przestrzeń Focka jako wykładnicza przestrzeń HilbertaEdytuj

Dla każdego elementu   przestrzeni   wzór:

 

określa element przestrzeni   nazywany wektorem wykładniczym (bądź eksponencjalnym) wektora   W szczególności, wektor próżni jest wektorem eksponencjalnym  

Jeżeli   i   należą do   to

 

Dla dowolnego podzbioru   przestrzeni   symbol   oznacza podprzestrzeń

 

W szczególności, gdy   można pisać krótko   Zbiór   jest liniowo niezależny. Co więcej,   jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni  

Przestrzeń Focka nad sumą prostą przestrzeni Hilberta

Jeżeli     są przestrzeniami Hilberta, to

 

przy czym równość w tym przypadku rozumie się z dokładnością do izomorfizmu. Jeżeli przyjąć notację   to powyższy wzór przybiera postać

 

co tłumaczyć może dlaczego przestrzeń Focka bywa nazywana czasem wykładniczą przestrzenią Hilberta (nazwa pojęcia wykładnicza przestrzeń Hilberta pochodzi od H. Arakiego i J.E. Woodsa[4] i została wprowadzona dla symetrycznej przestrzeni Focka w kontekście algebr Boole’a operatorów rzutu na przestrzeniach Hilberta).

Baza przestrzeni FockaEdytuj

Jeżeli   jest ośrodkową przestrzenią Hilberta oraz   jest jej bazą ortonormalną, to zbiory

  •  
  •  
  •  

są bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni     i   Wszystkie opisane wyżej bazy są przeliczalne, a więc (dowolnego rodzaju) przestrzeń Focka nad ośrodkową przestrzenią Hilberta jest nadal ośrodkowa.

Operatory na przestrzeni FockaEdytuj

Niech   będzie ustalonym elementem przestrzeni  

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni FockaEdytuj

Funkcje

 
 

dane wzorami

 
 

można, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie, przedłużyć do operatorów liniowych określonych na   w sposób jednoznaczny ze względu na fakt, że zbiór   jest liniowo niezależny.

Podprzestrzeń   jest gęsta w   tak więc   i   są operatorami domkniętymi.

Ponadto zachodzą pomiędzy nimi następujące relacje:

 [5],

przy czym inkluzję powyżej należy rozumieć w sensie zawierania wykresów operatorów.

Operatory anihilacji i kreacji definiuje się, odpowiednio, poprzez zależności

 

oraz

 

Operatory te są więc wzajemnie do siebie sprzężone. Zbiór   jest ich dziedziną istotną (podobnie jak   na mocy definicji), gdzie określone są one następującymi wzorami:

 

oraz

 

Innymi słowy, operator anihilacji przenosi stany z przestrzeni   do   cząstkowej, a operator kreacji z przestrzeni   do  -cząstkowej.

Maksymalną dziedziną na jakiej są one zdefiniowane (jako domkniętę operatory wzajemnie sprzężone) jest odpowiednio, dla operatora anihilacji

 

oraz dla operatora kreacji

 [6].

Ponadto zachodą pomiędzy nimi tzw. relacje CCR i CAR (ang. canonical commutation relations i canonical anticommutation relations):

 
 

gdzie   oznacza komutator operatorów, a   ich antykomutator. Relacja CAR jest związana z tzw. regułą Pauliego mówiącą, iż żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w tym samym stanie kwantowym.

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Focka są operatorami nieograniczonymi. W szczególności,

 

W literaturze używana bywa również notacja Diraca w kontekście operatorów anihilacji –   i kreacji –   przy czym wektor „bra” jest elementem przestrzeni sprzężonej do  

Operator liczby cząstekEdytuj

Osobny artykuł: Operator liczby cząstek.

Operator liczby cząstek   na   określony jest w następujący sposób:

 

gdzie:

 

Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na   Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek  

Zbiór   jest dziedziną istotną operatora   tzn. jest domknięciem obcięcia operatora   do zbioru   W szczególności, dla dowolnej funkcji   operator   jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:

 
 

PrzykładyEdytuj

Przestrzeń wykładnicza ciała liczb zespolonych

Dla każdej liczby naturalnej   iloczyn tensorowy   można w naturalny sposób utożsamić z   skąd

 

Dla każdej liczby zespolonej   wektor wykładniczy z nią stowarzyszony jest postaci

 

i należy do przestrzeni  

Niech   będzie standardowym rozkładem normalnym (Gaussa) na prostej. W przestrzeni   rozważa się tzw. funkcję tworzącą, zdefiniowaną przy pomocy wielomianów Hermite’a:

 

gdzie   jest wielomianem Hermite’a stopnia  

Istnieje dokładnie jeden taki izometryczny izomorfizm   że

 
Przestrzeń Focka nad przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem na półprostej

Niech   będzie standardowym procesem Wienera (ruchem Browna) z odpowiadającą mu miarą probabilistyczną   na przestrzeni funkcji ciągłych   Dla dowolnej funkcji zespolonej   będącej elementem przestrzeni   (z miarą Lebesgue’a), niech

oznacza jej całkę stochastyczną Wienera względem procesu   Istnieje wówczas dokładnie jeden izometryczny izomorfizm

 

który spełnia warunek

 

Związek pomiędzy procesami gaussowskimi a przestrzenią Focka został zauważony w pracy I.E. Segala z 1959 roku[7].

PrzypisyEdytuj

  1. Fock Space. W: Paul-André Meyer: Quantum Probability for Probabilists. Berlin: Springer, 1995, s. 59. ISBN 3-540-60270-4. (ang.)
  2. V. Fock. Konfigurationsraum und zweite Quantelung. „Zeitschrift für Physik”. 75 (9/10), s. 622–647, 1932. DOI: 10.1007/BF01344458. 
  3. J.M. Cook. The Mathematics of Second Quantization. „Transactions of the American Mathematical Society”. 74 (2), s. 222–245, 1953. DOI: 10.1073/pnas.37.7.417. 
  4. H. Araki, J.E. Woods. Complete Boolean algebras of type I factors. „Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences”. 2 (2), s. 157–242, 1966. DOI: 10.2977/prims/1195195888. 
  5. Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 2007. ISBN 978-3540244066. (ang.)
  6. Fock Space. W: Paul-André Meyer: Quantum Probability for Probabilists. Berlin: Springer, 1995, s. 61. ISBN 3-540-60270-4. (ang.)
  7. I.E. Segal. Les Problems Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs. „Centre Nationale de Recherche Scientifique”, s. 57–103, 1959. Paryż. 

BibliografiaEdytuj

  • Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 123–134. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.)
  • Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 201–210. ISBN 978-3540244066. (ang.)
  • Hilbert Spaces. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 53–54. ISBN 978-0125850506. (ang.)
  • Self-adjointness. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 2: Fourier Analysis, Self-Adjointness. Academic Press, 1975, s. 207–209. ISBN 0-12-585002-6. (ang.)