Metoda Ritza
Metoda Ritza – metoda przybliżonego rozwiązywania zagadnień wariacyjnych, w szczególności w sytuacji gdy odpowiednie równania Eulera-Lagrange’a (wyznaczające ekstremale danego funkcjonału) są trudne do scałkowania. W mechanice kwantowej jest to jedna z metod rozwiązania równania Schrödingera. Nazwa metody pochodzi od nazwiska szwajcarskiego fizyka Walthera Ritza.
Opis metody
edytujMetoda Ritza jest szczególnym przypadkiem metody wariacyjnej. W tej metodzie wprowadza się do funkcji próbnej dodatkowe parametry wariacyjne, gdyż wówczas łatwo jest obliczyć ich optymalne wartości.
Niech funkcja próbna będzie w postaci:
gdzie funkcja jest znana i nie jest ortonormalna. Wybór tej funkcji jest w zasadzie dowolny – powinien jedynie umożliwiać otrzymanie takiego rozmieszczenia cząstek, jakiego spodziewać się można po przesłankach fizycznych i chemicznych danego układu. Po podstawieniu powyższego równania do równania znanego z metody wariacyjnej
otrzyma się następujące równanie:
gdzie:
- oraz
Należy teraz znaleźć minimum ze względu na współczynniki i Są one liczbami zespolonymi, zatem istnieje parametrów i można traktować je jako parametry niezależne. Różniczkując powyższe równanie względem
Do znalezienia ekstremum trzeba założyć, że Zatem minimalną wartość oznaczoną jako otrzyma się z równania:
- dla
Powyższy układ równań ma proste rozwiązanie dla wszystkich Aby układ jednorodny nie miał jednego prostego rozwiązania, wyznacznik zbudowany ze współczynników przy niewiadomych musi być zerowy:
Jest to równanie stopnia Z tego powodu ma ono pierwiastków dla niewiadomej Wstawiając określony pierwiastek do ww. równania, można otrzymać rozwiązania poprzez znalezienie współczynników dla danej wartości energii Jeśli zatem jest najmniejszym pierwiastkiem, to odpowiada on stanowi podstawowemu układu, a współczynniki określają funkcję falową:
Bibliografia
edytuj- Włodzimierz Kołos: Chemia kwantowa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1978, s. 61–63.