Metoda Ritza – metoda przybliżonego rozwiązywania zagadnień wariacyjnych, w szczególności w sytuacji gdy odpowiednie równania Eulera-Lagrange’a (wyznaczające ekstremale danego funkcjonału) są trudne do scałkowania. W mechanice kwantowej jest to jedna z metod rozwiązania równania Schrödingera. Nazwa metody pochodzi od nazwiska szwajcarskiego fizyka Walthera Ritza.

Opis metody

edytuj

Metoda Ritza jest szczególnym przypadkiem metody wariacyjnej. W tej metodzie wprowadza się do funkcji próbnej dodatkowe parametry wariacyjne, gdyż wówczas łatwo jest obliczyć ich optymalne wartości.

Niech funkcja próbna będzie w postaci:

 

gdzie funkcja   jest znana i nie jest ortonormalna. Wybór tej funkcji jest w zasadzie dowolny – powinien jedynie umożliwiać otrzymanie takiego rozmieszczenia cząstek, jakiego spodziewać się można po przesłankach fizycznych i chemicznych danego układu. Po podstawieniu powyższego równania do równania znanego z metody wariacyjnej

 

otrzyma się następujące równanie:

 

gdzie:

  oraz  

Należy teraz znaleźć minimum   ze względu na współczynniki   i   Są one liczbami zespolonymi, zatem istnieje   parametrów i można traktować je jako parametry niezależne. Różniczkując powyższe równanie względem  

 

Do znalezienia ekstremum trzeba założyć, że   Zatem minimalną wartość   oznaczoną jako   otrzyma się z równania:

 
dla      

Powyższy układ równań ma proste rozwiązanie   dla wszystkich   Aby układ jednorodny nie miał jednego prostego rozwiązania, wyznacznik zbudowany ze współczynników przy niewiadomych musi być zerowy:

 

Jest to równanie stopnia   Z tego powodu ma ono   pierwiastków dla niewiadomej   Wstawiając określony pierwiastek   do ww. równania, można otrzymać rozwiązania poprzez znalezienie współczynników   dla danej wartości energii   Jeśli zatem   jest najmniejszym pierwiastkiem, to odpowiada on stanowi podstawowemu układu, a współczynniki   określają funkcję falową:

 

Bibliografia

edytuj