Miara dodatnio określonych operatorów
Miara dodatnio określonych operatorów – miara wprowadzona w analizie funkcjonalnej i teorii pomiaru mechaniki kwantowej (z ang. positive-operator valued measure – POVM); jej wartościami są dodatnio określone operatory samosprzężone, działające na przestrzeni Hilberta; całka z tych operatorów jest operatorem identycznościowym.
Typowo proces pomiaru opisuje się w mechanice kwantowej za pomocą operatora rzutowego (ang. projection-valued measure – PVM) działającego na funkcję falową układu. Czasami jednak fizyczna przestrzeń Hilberta jest tak ograniczona, że nie da się przypisać operatora rzutowego do pomiarów – można jednak proces pomiaru opisać za pomocą mniej restrykcyjnej miary POVM, której operatory są „niepełnymi” operatorami rzutowymi, tj. o dziedzinie i zbiorze wartości ograniczonymi do dostępnej przestrzeni Hilberta. Za pomocą tej miary formułuje się więc najogólniejszą sytuację pomiarową. POVM używa się np. w informatyce kwantowej.
W grubej analogii, POVM ma się tak do PVM jak macierz gęstości do stanu czystego. Nawet jeśli cały układ jest w stanie czystym, to macierze gęstości są niezbędne do opisu stanu jego podukładu.
Analogicznie, jeżeli fizyczna przestrzeń Hilberta jest z jakiś względów ograniczona tak że jest podprzestrzenią przestrzeni, w której pomiar można opisać jako wynik operacji rzutowej POV, to pomiar na tej przestrzeni Hilberta opisuje miara POVM.
Historycznie, używano nazwy miara, której wartościami są operatory prawdopodobieństwa (ang. probability-operator measure – POM), ale jest teraz rzadko stosowana.
W kwantowej teorii pola pomiary rzutowe nie mają konkretnej definicji i prowadzą do wielu sprzeczności, można jednak wprowadzić ich generalizację[1].
Przykłady konieczności użycia miary POVM edytuj
Fermion Diraca edytuj
Typowym przykładem jest pojedyncza cząstka Diraca, czyli fermion o spinie 1/2 opisywany równaniem Diraca (por. Dürr i inni (2004))[2]: operator położenia działający na indukuje naturalną miarę rzutową POV dla każdego zbioru mierzalnego (borelowskiego) jest rzutem na przestrzeń funkcji, które zerują się na zewnątrz zbioru, gdzie – indykator funkcji na zbiorze W ten sposób otrzymuje się
Jeżeli jednak jako fizyczną przestrzeń Hilberta przejmie się podprzestrzeń zawierającą tylko stany o dodatnich energiach, to prawdopodobieństwo znalezienia cząstki musi być zadane przez operator gdzie jest operatorem rzutowym, zaś – odwzorowanie inkluzji.
Ponieważ nie komutuje z większością operatorów to nie jest operatorem rzutowym, ale ogólniejszą miarą POVM i w konsekwencji nie ma odniesienia do żadnego operatora rzutowego. Jednakże pozostaje nadal słuszne dla funkcji należącej do podprzestrzeni z dodatnio określoną energią, że
Z tego względu w kwantowej teorii pola obserwabla położenia jest częściej typu POVM niż POV.
Fotony edytuj
Miary typu POVM są np. istotne dla fotonów. W jednym z podejść funkcja falowa pojedynczego fotonu poddana jest warunkom ograniczającym
Fizyczna przestrzeń Hilberta fotonu zawiera więc tylko funkcje falowe, które spełniają to dodatkowe ograniczenie i z tej racji przestrzeń Hilberta fotonu jest podprzestrzenią ogólniejszej przestrzeni w jakiej można przedstawiać stany pojedynczych cząstek o liczbie spinowej s=1, a naturalna miara rzutowa PVM na przechodzi w POVM na
Operatory POVM a operatory rzutowe edytuj
Z każdym wynikiem pomiaru jest związany pewien dodatnio określony samosprzężony operator taki, że jeśli na układzie w stanie jest wykonywany pomiar, to rozkład prawdopodobieństwa pomiaru jest dany wyrażeniem
dla każdego
Z takich operatorów pomiaru można utworzyć „observables”: operatory dają rozkłady prawdopodobieństw wielkości mierzonej będące funkcją Operatory zsumowane dają operator jednostkowy
Gdy są liczbami rzeczywistymi, a są operatorami rzutowymi, to operator POVM może być wyrażony przez operator samosprzężony
– jest to de facto rozkład spektralny operatora tak, że są wartościami własnymi a jest operatorem rzutowym na podprzestrzeń odpowiadającą tej wartości. To tłumaczy, dlaczego operatory samosprzężone reprezentują wielkości mierzone w wielu przypadkach.
Przypisy edytuj
- ↑ Alvaro Ortega i inni, Work Distributions on Quantum Fields, „Physical Review Letters”, 122 (24), 2019, s. 240604, DOI: 10.1103/PhysRevLett.122.240604, ISSN 0031-9007 [dostęp 2019-12-16] (ang.).
- ↑ Detlef Dürr, Roderich Tumulka, Nino Zanghì, J. Phys. A: Math. Gen. 38, R1–R43 (2005), quant-ph/0407116.
Bibliografia edytuj
- L.I. Schiff, Quantum Mechanics (3rd ed.), McGraw-Hill, 1968.
- A. Chefles, Quantum State Discrimination, Contemp. Phys. 41, 401 (2000), https://arxiv.org/abs/quant-ph/0010114v1.
- J.A. Bergou, U. Herzog, M. Hillery, Discrimination of Quantum States, Lect. Notes Phys. 649, s. 417–465 (2004).
- Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, Roderich Tumulka, Nino Zanghì, Bell-type Quantum Field Theories, 2004.