Paczka falowa

Paczka falowa, pakiet falowy – fala skupiona w ograniczonym obszarze przestrzeni. Swobodną paczkę falową można traktować jako superpozycję (złożenie) harmonicznych fal płaskich o różnych częstotliwościach.

Paczka falowa nieulegająca dyspersji.

Paczka falowa ulegająca dyspersji. Grzbiety fali poruszają się szybciej niż paczka falowa, co odpowiada temu że prędkość fazowa jest większa od prędkości grupowej.

W przeciwieństwie do nieskończonych (niezlokalizowanych) obiektów paczka falowa jest obiektem zlokalizowanym. Obiekt taki przemieszcza się w przestrzeni i przenosi informacje, a prędkość, z jaką to się odbywa, zwana jest prędkością grupową.

Podejście matematyczne

Przykładem propagacji (rozchodzenia się) fali bez dyspersji jest fala płaska będąca rozwiązaniem równania falowego postaci:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\nabla ^{2}u},$

gdzie:

$c$ – prędkość propagacji fali w danym ośrodku,

$u$ – zmienna charakteryzująca chwilową amplitudę fali w punkcie $x$ w chwili $t.$

Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego jest funkcja propagacji fali płaskiej:

$u({\vec {x}},t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\vec {k}}{\vec {x}}-\omega t)},$

gdzie:

$\mathrm {i}$ – jednostka urojona,

${\vec {k}}$ – wektor falowy,

$\omega$ – pulsacja (częstość kołowa),

Kwadrat długości wektora falowego ${\vec {k}}$ w przypadku przestrzeni 3-wymiarowej jest sumą kwadratów liczb falowych względem poszczególnych osi:

$|{\vec {k}}|^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.$

Natomiast kwadrat pulsacji $\omega$ może być zapisany jako:

$\omega ^{2}=|{\vec {k}}|^{2}c^{2}.$

Powyższa relacja pomiędzy $\omega ,$ a ${\vec {k}}$ jest prawdziwa, jeśli dana fala płaska jest rozwiązaniem równania falowego. Równanie to opisuje dyspersję fali w ośrodku materialnym.

Można uprościć to rozwiązanie, wybierając układ współrzędnych w taki sposób, aby fala płaska rozchodziła się w kierunku $x.$ Rozwiązanie równania falowego przyjmuje wtedy postać:

$u(x,t)=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kx-\omega t)}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (kx+\omega t)},$

w którym:

$\omega =kc,\,k=k_{x}.$

Pierwszy człon powyższego równania reprezentuje propagację fali w kierunku dodatnich $x,$ jako że jest funkcją $x-ct.$ Drugi człon, będący funkcją $x+ct,$ reprezentuje propagację fali w kierunku ujemnych wartości $x.$

Jeśli paczka falowa jest silnie zlokalizowana, oznacza to, że ma więcej składowych koniecznych do konstruktywnej interferencji w obszarze paczki, i destruktywnej interferencji w obszarze gdzie następuje wygaszenie.

Przechodząc z dziedziny czasu $t$ do dziedziny pulsacji $\omega ,$ dokonuje się unitarnej transformacji Fouriera i otrzymuje się uogólnioną postać paczki falowej, poprawną z punktu widzenia podstawowego rozwiązania w 1-wymiarowej przestrzeni:

$u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }A(k)~\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kx-\omega (k)t)}\,\mathrm {d} k.$

W przypadku gdy:

$\omega (k)=kc\Leftarrow u(x,t)=F(x-ct),$

paczka porusza się w kierunku dodatnim, oraz w kierunku ujemnym gdy:

$\omega (k)=-kc\Leftarrow u(x,t)=F(x+ct).$

Czynnik stojący przed całką pojawia się tutaj przez wykonanie transformacji Fouriera. Amplituda $A(k)$ w tym wzorze jest przez zależność dyspersyjną funkcją $\omega .$ Zawiera ona współczynniki liniowych superpozycji fal płaskich. Współczynniki te mogą zostać wyrażone jako funkcja $u(x,t)$ ewaluowana w granicy przy $t=0,$ z relacji wynikającą z odwrotnej transformacji Fouriera:

$A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }u(x,0)~\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kx}\,\mathrm {d} x.$

Bibliografia

• http://www.if.pw.edu.pl/~pluta/pl/dyd/plg/w-fiz/w22/segment3/main.htm
• https://web.archive.org/web/20090404160014/http://physics.usask.ca/~hirose/ep225/animation/dispersion/anim-dispersion.html (ang.)