Rozkład trójkątny

Rozkład trójkątny – ciągły rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej.

Rozkład trójkątny

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$a:~a\in (-\infty ,\infty )$ $b:~b>a$ $c:~a\leqslant c\leqslant b$
Nośnik	$a\leqslant x\leqslant b$
Gęstość prawdopodobieństwa	$\left\{{\begin{matrix}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&\mathrm {dla\ } a\leqslant x\leqslant c\\&\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&\mathrm {dla\ } c\leqslant x\leqslant b\end{matrix}}\right.$
Dystrybuanta	$\left\{{\begin{matrix}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&\mathrm {dla\ } a\leqslant x\leqslant c\\&\\1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&\mathrm {dla\ } c\leqslant x\leqslant b\end{matrix}}\right.$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\frac {a+b+c}{3}}$
Mediana	$\left\{{\begin{matrix}a+{\frac {\sqrt {(b-a)(c-a)}}{\sqrt {2}}}&\mathrm {dla\ } c\!\geqslant \!{\frac {b\!-\!a}{2}}\\&\\b-{\frac {\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {2}}}&\mathrm {dla\ } c\!\leqslant \!{\frac {b\!-\!a}{2}}\end{matrix}}\right.$
Moda	$c$
Wariancja	${\tfrac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}$
Współczynnik skośności	${\tfrac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}$
Kurtoza	$-{\frac {3}{5}}$
Entropia	${\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)$
Funkcja tworząca momenty	$2{\tfrac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}$
Funkcja charakterystyczna	$-2{\tfrac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}$

Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu trójkątnego można też wyrazić jako:

$f(x)=\left\{{\begin{array}{cll}0&{\text{dla}}&x<\mu -{\sqrt {6}}\sigma \\{\frac {x-\mu }{6\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{{\sqrt {6}}\sigma }}&{\text{dla}}&\mu -{\sqrt {6}}\sigma \leqslant x\leqslant \mu \\-{\frac {x-\mu }{6\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{{\sqrt {6}}\sigma }}&{\text{dla}}&\mu \leqslant x\leqslant \mu +{\sqrt {6}}\sigma \\0&{\text{dla}}&x>\mu +{\sqrt {6}}\sigma \end{array}}\right.,$

gdzie:

$\sigma$ – odchylenie standardowe,

$\mu$ – wartość średnia.

Zobacz też

• statystyka