Liczby Bernoulliego – nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako
B
k
,
{\displaystyle B_{k},}
gdzie
k
{\displaystyle k}
jest numerem porządkowym liczby,
k
=
0
,
1
,
2...
,
{\displaystyle k=0,1,2...,}
wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych . Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę:
1
10
+
2
10
+
3
10
+
.
.
.
+
1000
10
{\displaystyle 1^{10}+2^{10}+3^{10}+...+1000^{10}}
„w pół kwadransa”.
Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora ) i w teorii liczb .
Obecnie funkcjonują w matematyce dwie definicje liczb Bernoulliego: nowsza – podana niżej jako definicja 1 i starsza – niżej cytowana jako definicja 2. Dla odróżnienia liczby Bernoulliego określone według definicji 1 oznacza się przez
B
k
,
{\displaystyle B_{k},}
a według definicji 2 – przez
B
k
∗
.
{\displaystyle B_{k}^{*}.}
Przy tym liczby
B
k
∗
{\displaystyle B_{k}^{*}}
stanowią podzbiór właściwy liczb
B
k
.
{\displaystyle B_{k}.}
Liczby Bernoulliego – definicja 1
edytuj
Liczby Bernoulliego definiuje się jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji[1] :
x
e
x
−
1
=
∑
n
=
0
∞
B
n
⋅
x
n
n
!
.
{\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\cdot {x^{n}}}{n!}}.}
Szereg powyższy jest zbieżny dla
|
x
|
<
2
π
.
{\displaystyle |x|<2\pi .}
Równoważnie liczby Bernoulliego można zdefiniować rekurencyjnie za pomocą wzoru:
∑
k
=
0
m
(
m
+
1
k
)
⋅
B
k
=
0
,
{\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose k}\cdot B_{k}=0,}
gdzie
B
0
=
1.
{\displaystyle B_{0}=1.}
Według tej definicji wszystkie liczby Bernoulliego o indeksach nieparzystych większych od 2 są równe 0.
Liczby o indeksach parzystych większych od 0 są na przemian dodatnie i ujemne.
Pierwsze 21 liczb Bernoulliego zaczynając od
B
0
:
{\displaystyle B_{0}{:}}
1
,
−
1
2
,
1
6
,
0
,
−
1
30
,
0
,
1
42
,
0
,
−
1
30
,
0
,
5
66
,
0
,
−
691
2730
,
0
,
7
6
,
0
,
−
3617
510
,
0
,
43867
798
,
0
,
−
174611
330
,
…
{\displaystyle 1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}},0,-{\frac {1}{30}},0,{\frac {1}{42}},0,-{\frac {1}{30}},0,{\frac {5}{66}},0,-{\frac {691}{2730}},0,{\frac {7}{6}},0,-{\frac {3617}{510}},0,{\frac {43867}{798}},0,-{\frac {174611}{330}},\dots }
Liczby Bernoulliego – definicja 2
edytuj
Liczby Bernoulliego definiuje się tym razem jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:
1
−
x
2
ctg
(
x
2
)
=
B
1
∗
⋅
x
2
2
!
+
B
2
∗
⋅
x
4
4
!
+
B
3
∗
⋅
x
6
6
!
+
…
{\displaystyle 1-{\frac {x}{2}}\operatorname {ctg} \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {B_{1}^{*}\cdot {x^{2}}}{2!}}+{\frac {B_{2}^{*}\cdot {x^{4}}}{4!}}+{\frac {B_{3}^{*}\cdot {x^{6}}}{6!}}+\ldots }
Pierwsze kilka liczb Bernoulliego zaczynając od
B
1
∗
:
{\displaystyle B_{1}^{*}{:}}
1
6
,
1
30
,
1
42
,
1
30
,
5
66
,
691
2730
,
7
6
,
3617
510
,
43867
798
,
174611
330
,
854513
138
,
…
{\displaystyle {\frac {1}{6}},{\frac {1}{30}},{\frac {1}{42}},{\frac {1}{30}},{\frac {5}{66}},{\frac {691}{2730}},{\frac {7}{6}},{\frac {3617}{510}},{\frac {43867}{798}},{\frac {174611}{330}},{\frac {854513}{138}},\dots }
Powiązanie pomiędzy liczbami
B
n
∗
{\displaystyle B_{n}^{*}}
i
B
n
{\displaystyle B_{n}}
opisuje poniższy wzór:
B
n
=
{
1
,
dla
n
=
0
−
1
2
,
dla
n
=
1
(
−
1
)
(
n
2
)
−
1
⋅
B
n
2
∗
,
dla
n
parzystych
0
,
dla
n
nieparzystych
{\displaystyle B_{n}={\begin{cases}1,&{\mbox{dla }}n=0\\-{\frac {1}{2}},&{\mbox{dla }}n=1\\(-1)^{({\frac {n}{2}})-1}\cdot {B_{\frac {n}{2}}^{*}},&{\mbox{dla }}n{\mbox{ parzystych}}\\0,&{\mbox{dla }}n{\mbox{ nieparzystych}}\end{cases}}}
Wzór asymptotyczny
edytuj
Wykorzystując wzór Stirlinga , otrzymuje się następujące przybliżenie wartości liczb Bernoulliego:
B
n
≈
(
−
1
)
n
−
1
⋅
4
⋅
π
⋅
n
⋅
(
n
π
e
)
2
n
.
{\displaystyle B_{n}\approx (-1)^{n-1}\cdot 4\cdot {\sqrt {\pi \cdot n}}\cdot \left({\frac {n}{\pi {e}}}\right)^{2n}.}
Twierdzenie Staudta
edytuj
Każda liczba Bernoulliego
B
ν
{\displaystyle B_{\nu }}
może być przedstawiona w postaci[2]
B
ν
=
C
ν
−
∑
1
k
+
1
,
{\displaystyle B_{\nu }=C_{\nu }-\sum {\frac {1}{k+1}},}
gdzie
C
ν
{\displaystyle C_{\nu }}
jest liczbą naturalną, a sumowanie przebiega po takich dzielnikach
k
{\displaystyle k}
liczby
ν
,
{\displaystyle \nu ,}
dla których
k
+
1
{\displaystyle k+1}
jest liczbą pierwszą.
Na przykład liczba Bernoulliego
B
6
=
1
42
{\displaystyle B_{6}={\frac {1}{42}}}
może być przedstawiona w postaci
B
6
=
1
−
1
2
−
1
3
−
1
7
,
{\displaystyle B_{6}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{7}},}
bo liczba 6 ma cztery dzielniki: 1, 2, 3, 6, z których trzy: 1, 2, 6 są odpowiednio liczbami o 1 mniejszymi od liczb pierwszych: 2, 3, 7.
Przykłady zastosowań
edytuj
Można je znaleźć w rozwinięciach w szereg Taylora wielu funkcji takich jak
tg
x
,
ctg
x
,
tgh
x
,
x
e
x
−
1
,
ln
|
sin
(
x
)
|
{\displaystyle \operatorname {tg} x,\operatorname {ctg} x,\operatorname {tgh} x,{\frac {x}{e^{x}-1}},\ln |\sin(x)|}
i w innych.
Wzór Faulhabera na sumę potęg kolejnych liczb naturalnych:
∑
j
=
1
n
j
k
=
1
k
+
1
⋅
[
n
k
+
1
+
(
k
+
1
1
)
B
1
n
k
+
(
k
+
1
2
)
B
2
n
k
−
1
+
…
+
(
k
+
1
k
)
B
k
n
]
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{j^{k}}={\frac {1}{k+1}}\cdot \left[n^{k+1}+{k+1 \choose 1}\,B_{1}n^{k}+{k+1 \choose 2}\,B_{2}n^{k-1}+\ldots +{k+1 \choose k}\,B_{k}n\right].}
Związek z funkcją dzeta Riemanna wyraża wzór Eulera :
ζ
(
2
k
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
2
k
=
π
2
k
2
2
k
−
1
(
2
k
)
!
B
2
k
.
{\displaystyle \zeta (2k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}={\frac {\pi ^{2k}2^{2k-1}}{(2k)!}}B_{2k}.}
W szczególności wynika stąd, że
∑
n
=
1
∞
1
n
2
=
π
2
6
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}
Inny wzór wyprowadzony także przez Eulera:
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
1
n
2
k
=
(
−
1
)
k
+
1
π
2
k
(
2
2
k
−
1
−
1
)
(
2
k
)
!
B
2
k
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}}{\frac {1}{n^{2k}}}=(-1)^{k+1}{\frac {\pi ^{2k}\left(2^{2k-1}-1\right)}{(2k)!}}B_{2k}.}
Liczby Bernoulliego badano też m.in. w związku z liczbami pierwszymi regularnymi . Wiele dalszych własności liczb Bernoulliego i innych ich zastosowań można znaleźć w podanych niżej źródłach.
Bibliografia
edytuj
Paulo P. Ribenboim Paulo P. , Mała księga wielkich liczb pierwszych , Jerzy J. Browkin (tłum.), Warszawa: WNT, 1997, ISBN 83-204-2201-9 , OCLC 69586783 .brak strony (książka)
J.H. Conway , R.K. Guy , Księga liczb , WNT, Warszawa 1999, ISBN 83-204-2366-X .
R.L. Graham , D.E. Knuth , O. Patashnik , Matematyka konkretna, § 6.5.: Liczby Bernoulliego , PWN, Warszawa 2006, ISBN 83-01-14764-4 .
Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Bernoulli Number , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) .