Rozmaitość liniowa

Rozmaitość liniowa – zbiór punktów przestrzeni afinicznej ${\mathfrak {U}}$ rozpiętej nad przestrzenią wektorową $\mathbb {V}$ zdefiniowany następująco

$M_{0}+\mathbb {W} :=\{M_{0}+w:w\in \mathbb {W} \},$

dla pewnego punktu $M_{0}\in {\mathfrak {U}}$ i pewnej podprzestrzeni wektorowej $\mathbb {W} <\mathbb {V}$.

Punkt $M_{0}$ nazywany jest punktem początkowym rozmaitości liniowej, a podprzestrzeń wektorowa $\mathbb {W}$ nazywana jest przestrzenią kierunkową rozmaitości.

Własności:

• Każdy punkt danej rozmaitości liniowej można przyjąć za jej punkt początkowy.

• Przestrzeń kierunkowa danej rozmaitości jest wyznaczona jednoznacznie.

Wymiar rozmaitości

Wymiarem rozmaitości nazywa się wymiar jej przestrzeni kierunkowej.

Jeśli więc przestrzeń kierunkowa rozmaitości ma wymiar $m,$ to o rozmaitości mówi się Rozmaitość liniowa $m$-wymiarowa.

Rozmaitość z przestrzenią kierunkową $\mathbb {W} ,$ dla której

• $\dim \mathbb {W} =1$ nazywa się prostą,
• $\dim \mathbb {W} =2$ nazywa się płaszczyzną,
• $\dim \mathbb {W} =\dim \mathbb {V} -1$ nazywa się hiperpłaszczyzną.

Przykłady rozmaitości liniowych

Proste równoległe

Przykłady rozmaitości liniowych:

• przestrzeń afiniczna:

Przestrzeń afiniczna jest rozmaitością liniową, której przestrzeń kierunkową stanowi przestrzeń wektorowa, nad którą rozpięta jest przestrzeń afiniczna, a punktem początkowym – dowolny punkt tej przestrzeni afinicznej;

• rozmaitość zerowymiarowa:

Jeśli $M_{0}\in {\mathfrak {U}},$ to rozmaitość $M_{0}+\{0\}=\{M_{0}\}.$ Zatem rozmaitość jest zerowymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednopunktowa

• proste równoległe:

Niech ${\mathfrak {U}}$ będzie płaszczyzną kartezjańską. Rozpatrzmy przestrzeń afiniczną ${\mathfrak {U}}$ rozpiętą nad $\mathbb {R} ^{2}.$ Niech $\mathbb {W}$ będzie jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni liniowej $\mathbb {R} ^{2}.$ Niech $M_{0}$ będzie punktem płaszczyzny ${\mathfrak {U}}.$ Wtedy $M_{0}+\mathbb {W}$ to prosta równoległa do prostej $0+\mathbb {W} ,$ gdzie $0$ to początek układu współrzędnych (patrz: rysunek obok).

Rozmaitości liniowe a przestrzenie afiniczne

Lemat

$M,N\in M_{0}+\mathbb {W} \Rightarrow {\overrightarrow {MN}}\in \mathbb {W}$

Dowód lematu

Jeśli $M\in M_{0}+\mathbb {W} ,$ to $M_{0}+\mathbb {W} =M+\mathbb {W} .$ Zatem $N\in M+\mathbb {W}$ i istnieje taki wektor ${\mathfrak {m}}\in \mathbb {W} ,$ dla którego $N=M+{\mathfrak {m}}.$ Stąd wynika, że ${\overrightarrow {MN}}={\mathfrak {m}}\in \mathbb {W}$.

Twierdzenie

Rozmaitość liniowa $M_{0}+\mathbb {W}$ przestrzeni afinicznej ${\mathfrak {U}}$ rozpiętej nad przestrzenią wektorową $\mathbb {V}$ jest przestrzenią afiniczną związaną z przestrzenią liniową $\mathbb {W}$.

Dowód twierdzenia

Jeśli $M\in M_{0}+\mathbb {W} ,$ to $M+\mathbb {W} =M_{0}+\mathbb {W} .$ Stąd:

$\forall _{{\mathfrak {v}}\in \mathbb {W} }\forall _{M\in M_{0}+\mathbb {W} }M+{\mathfrak {v}}\in M_{0}+\mathbb {W} .$

Rozważmy funkcję ${\mathfrak {f}}\colon {\mathfrak {U}}\times \mathbb {V} \to {\mathfrak {U}}$ taką, że:

${\mathfrak {f}}\colon (N,x)\mapsto N+x.$

Łatwo zauważyć, że funkcja ta posiada następującą własność:

${\mathfrak {f}}\colon (M_{0}+\mathbb {W} )\times \mathbb {W} \to M_{0}+\mathbb {W}$.

Aby zakończyć dowód, wystarczy sprawdzić, czy funkcja ${\mathfrak {f}}$ spełnia aksjomatykę przestrzeni afinicznej.

Rzeczywiście, korzystając z tego, że $M\in {\mathfrak {U}},\ \ x,y\in \mathbb {V}$ dostaniemy

${\mathfrak {f}}(M,x+y)=M+(x+y)=(M+x)+y={\mathfrak {f}}({\mathfrak {f}}(M,x),y)$

co oznacza, że ${\mathfrak {f}}$ spełnia I aksjomat przestrzeni afinicznej.

Z kolei jeśli $N,P\in M_{0}+\mathbb {W} ,$ to na mocy lematu otrzymujemy ${\overrightarrow {NP}}\in \mathbb {W} .$ A stąd

${\mathfrak {f}}(N,{\overrightarrow {NP}})=N+{\overrightarrow {NP}}=P.$

Czyli funkcja ${\mathfrak {f}}$ spełnia III aksjomat przestrzeni afinicznej.

Równoległość rozmaitości

Dwie rozmaitości liniowe danej przestrzeni afinicznej nazywa się równoległymi, jeśli mają tę samą przestrzeń kierunkową.

Relacja równoległości jest relacją równoważności.

Każde dwie rozmaitości równoległe są równe lub rozłączne.

W niektórych źródłach dodatkowo żąda się, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych. Tak rozumiana równoległość nie będzie jednak równoważnością, a każde dwie rozmaitości równoległe będą rozłączne.

Uwaga

Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicję:

Rozmaitość liniowa $M_{0}+\mathbb {W}$ jest równoległa do rozmaitości liniowej $N_{0}+\mathbb {T} ,$ gdy $\mathbb {W}$ jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej $\mathbb {T} ,$ tzn. gdy $\mathbb {W} <\mathbb {T} .$

Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyzny.

Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia.

W niektórych źródłach tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się równoległością, a zdefiniowaną wyżej ścisłą równoległością.