Stopień wielomianu

Stopień jednomianu – suma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych niezerowego jednomianu, np. jednomian $xy=x^{1}y^{1}$ jest stopnia drugiego.

Stopień wielomianu jest to najwyższy ze stopni jego składników (jednomianów) o niezerowych współczynnikach. Dla wielomianu jednej zmiennej jest to największa potęga zmiennej, która występuje jawnie w wielomianie.

Stopień wielomianu $f$ oznacza się $\deg f$ – skrót od ang. degree.

Niekiedy zakłada się, że jeśli $f\equiv 0,$ wówczas $\deg f=-\infty .$

Przykłady

• $3x^{3}-2x^{2}+x-1$ – wielomian stopnia 3,
• $x^{5}+x^{3}-2x+11$ – wielomian stopnia 5,
• $2x$ – wielomian stopnia 1,
• $-9$ – wielomian stopnia 0,
• $0$ – wielomian zerowy (najczęściej dla tego wielomianu nie definiuje się stopnia).

Własności

• Stopień sumy i różnicy wielomianów jest nie większy niż większy z ich stopni:

$\deg(f\pm g)\leqslant \max(\deg f,\deg g).$

• Stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie ich stopni w pierścieniu bez dzielników zera:

$\deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g.$

Rozszerzenie pojęcia

Stopień wielomianu $f(x)$ można także zdefiniować metodami analitycznymi:

$\deg f\colon =\lim _{x\to \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log(x)}}.$

Definicję tę można zastosować dla każdej funkcji ciągłej, która od pewnego miejsca nie zmienia znaku i dla której powyższa granica istnieje. Np.:

• $\deg {\tfrac {1}{x}}=-1,$
• $\deg {\sqrt {x}}={\tfrac {1}{2}},$
• $\deg \log x=0,$
• $\deg \exp x=\infty .$

Jeśli obliczanie granicy prowadzi do wyrażenia nieoznaczonego ${\tfrac {\infty }{\infty }},$ to dla funkcji różniczkowalnej można skorzystać z reguły de l’Hospitala. Wówczas

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {(\log |f(x)|)'}{(\log(x))'}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}.$

Jeśli $\deg f,\,\deg g$ istnieją, to łatwo sprawdzić, że istnieje $\deg f\cdot g$ oraz $\deg f\cdot g=\deg f+\deg g.$ Faktycznie

${\frac {x(fg)'}{fg}}={\frac {x(f'g+fg')}{fg}}={\frac {xf'g}{fg}}+{\frac {xfg'}{fg}}={\frac {xf'}{f}}+{\frac {xg'}{g}}.$

Linki zewnętrzne

• Michał Niedźwiedź, Stopień wielomianu, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-23].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polynomial Degree, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-23].