Twierdzenie Whiteheada

Twierdzenie Whiteheada – twierdzenie teorii homotopii udowodnione przez J. H. C. Whiteheada.

Sformułowanie

Słaba homotopijna równoważność $f:X\to Y$ między CW-kompleksami $X$ oraz $Y$ jest homotopijną równoważnością.

Uwagi

• Założenie, że przestrzenie $X$ oraz $Y$ są CW-kompleksami jest istotne. Nie każda słaba homotopijna równoważność jest homotopijną równoważnością. Przykładowo z każdym CW-kompleksem $X$ można stowarzyszyć przestrzeń Aleksandrowa ${\mathcal {K}}(X)$ oraz słabą homotopijną równoważność $f:X\to {\mathcal {K}}(X),$ która jest homotopijną równoważnością tylko wtedy, gdy ${\mathcal {K}}(X)$ jest homotopijnie równoważna pewnej przestrzeni dyskretnej.
• Podobnie, nie wystarczy, aby CW-kompleksy $X$ oraz $Y$ miały izomorficzne grupy homotopii. Musi istnieć słaba homotopijna równoważność $f:X\to Y.$ Przykładowo jeżeli $X$ jest rzeczywistą płaszczyzną rzutową $\mathbb {RP} ^{2},$ a $Y=\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{\infty },$ to obie przestrzenie mają grupy podstawowe izomorficzne z $\mathbb {Z} _{2}.$ Ponadto ich wyższe grupy homotopii są izomorficzne, ponieważ ich nakrycia uniwersalne $\mathbb {S} ^{2}$ oraz $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{\infty }$ są homotopijnie równoważne. Jednakże $X$ oraz $Y$ mają nieizomorficzne grupy homologii, więc nie mogą być homotopijnie równoważne.