Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego

twierdzenie analizy zespolonej
Ten artykuł dotyczy podstawowego twierdzenia Cauchy’ego. Zobacz też: inne twierdzenia Cauchy’ego.

Twierdzenie podstawowe Cauchy’egotwierdzenie analizy zespolonej orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego, który wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.

Twierdzenie to ma wiele nazw: twierdzenie Cauchy’ego o całce krzywoliniowej bądź twierdzenie całkowe Cauchy’ego, ale również twierdzenie Cauchy’ego-Goursata, czy nawet lemat Goursata (nie mylić z lematem Goursata w teorii grup).

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej   ograniczonym przedziałami gładką krzywą zamkniętą   ponadto   oznacza funkcję analityczną na obszarze   dla którego   Wówczas

 

WnioskiEdytuj

  • Jeśli funkcja   jest analityczna w obszarze jednospójnym   oraz   to dla każdych kawałkami gładkich krzywych   łączących   z   mamy
 

Zatem możemy zdefiniować całkę

 

(tzn. nie zależy ona od drogi całkowania).

  • Dla   jak powyżej określmy funkcję   przez
 

Wówczas funkcja   jest analityczna oraz  

  • Niech   będzie funkcją analityczną w obszarze jednospójnym   z wyjątkiem punktów   oraz niech   będzie kawałkami gładką krzywą Jordana otaczającą wszystkie punkty   (tzn. punkty te leżą we wnętrzu obszaru ograniczonego krzywą C). Wybierzmy liczbę dodatnią   taką że okręgi   o środku w   i promieniu   (dla  ) nie przecinają się i nie przecinają krzywej. Wówczas
 

(Całki powyżej są po krzywych skierowanych dodatnio).

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj