Treść twierdzenia
edytuj
Zapisywać będziemy
s
=
σ
+
i
t
{\displaystyle s=\sigma +it}
, aby dla danej liczby zespolonej wyrazić jej część rzeczywistą i urojoną.
Niech
F
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
s
{\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
będzie szeregiem Dirichleta zbieżnym bezwzględnie dla
σ
>
σ
a
{\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}
. Niech
c
>
0
{\displaystyle c>0}
,
x
>
0
{\displaystyle x>0}
będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas, dla
σ
>
σ
a
−
c
{\displaystyle \sigma >\sigma _{a}-c}
zachodzi równość
∑
n
⩽
x
′
f
(
n
)
n
s
=
1
2
π
i
∫
c
−
∞
i
c
+
∞
i
F
(
s
+
z
)
x
z
z
d
z
{\displaystyle \sum _{n\leqslant x}'{\frac {f(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}F(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz}
,
gdzie
∫
c
−
∞
i
c
+
∞
i
f
(
z
)
d
z
=
lim
T
→
∞
∫
c
−
T
i
c
+
T
i
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \int _{c-\infty i}^{c+\infty i}f(z)dz=\lim _{T\to \infty }\int _{c-Ti}^{c+Ti}f(z)dz}
zapis
∑
′
{\textstyle \sum '}
oznacza, że ostatni składnik sumy pomnożony jest przez
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
, gdy
x
{\displaystyle x}
jest liczbą całkowitą . W szczególności, gdy
s
=
0
{\displaystyle s=0}
, to
∑
n
⩽
x
′
f
(
n
)
=
1
2
π
i
∫
c
−
∞
i
c
+
∞
i
F
(
z
)
x
z
z
d
z
{\displaystyle \sum _{n\leqslant x}'f(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}F(z){\frac {x^{z}}{z}}dz}
.
Korzystając z odwrotnej transformacji Mellina , treść dowodu można zapisać jako
∑
n
⩽
x
′
f
(
n
)
n
s
=
{
M
−
1
φ
}
(
x
)
{\displaystyle \sum _{n\leqslant x}'{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \}(x)}
,
gdzie
φ
(
z
)
=
F
(
s
+
z
)
{\displaystyle \varphi (z)=F(s+z)}
[2] .
c
{\displaystyle c}
jest częścią rzeczywistą zmiennej
z
{\displaystyle z}
pod całką, więc szereg
F
(
s
+
z
)
{\displaystyle F(s+z)}
jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie na każdym zwartym podzbiorze półpłaszczyzny
σ
+
c
>
σ
a
{\displaystyle \sigma +c>\sigma _{a}}
. Stąd
∫
c
−
T
i
c
+
T
i
F
(
s
+
z
)
x
z
z
d
z
=
∫
c
−
T
i
c
+
T
i
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
s
+
z
x
z
z
d
z
=
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
s
∫
c
−
T
i
c
+
T
i
(
x
n
)
z
d
z
z
{\displaystyle \int _{c-Ti}^{c+Ti}F(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz=\int _{c-Ti}^{c+Ti}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s+z}}}{\frac {x^{z}}{z}}dz=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}}
.
Powyższą sumę można rozdzielić na części, gdzie
n
<
x
{\displaystyle n<x}
,
n
>
x
{\displaystyle n>x}
i ewentualnie trzeci składnik.
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
s
∫
c
−
T
i
c
+
T
i
(
x
n
)
z
d
z
z
=
∑
n
<
x
f
(
n
)
n
s
∫
c
−
T
i
c
+
T
i
(
x
n
)
z
d
z
z
+
∑
n
<
x
f
(
n
)
n
s
∫
c
−
T
i
c
+
T
i
(
x
n
)
z
d
z
z
+
′
f
(
x
)
x
s
∫
c
−
T
i
c
+
T
i
d
z
z
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}=\sum _{n<x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}+\sum _{n<x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}+'{\frac {f(x)}{x^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}{\frac {dz}{z}}}
,
przy czym zapis
+
′
{\displaystyle +'}
oznacza, że ostatnie wyrażenie uwzględnia się wtedy i tylko wtedy, gdy
x
{\displaystyle x}
jest liczbą całkowitą. Reszta dowodu wynika z tożsamości
1
2
π
i
∫
c
−
∞
i
c
+
∞
i
a
z
d
z
z
=
{
1
dla
a
>
1
,
1
2
dla
a
=
1
,
0
dla
0
<
a
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}a^{z}{\frac {dz}{z}}={\begin{cases}1\quad {\text{dla}}\quad a>1,\\{\frac {1}{2}}\quad {\text{dla}}\quad a=1,\\0\quad {\text{dla}}\quad 0<a<1\end{cases}}}
prawdziwej dla dowolnych liczb rzeczywistych
a
>
0
{\displaystyle a>0}
,
c
>
0
{\displaystyle c>0}
oraz z nierówności
|
1
2
π
i
∫
c
−
∞
i
c
+
∞
i
a
z
d
z
z
|
⩽
a
c
π
T
log
(
1
/
a
)
{\displaystyle \left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}a^{z}{\frac {dz}{z}}\right|\leqslant {\frac {a^{c}}{\pi T\log(1/a)}}}
prawdziwej dla
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0<a<1}
. Dla
a
=
x
/
n
>
1
{\displaystyle a=x/n>1}
,
∑
n
<
x
f
(
n
)
n
s
∫
c
−
T
i
c
+
T
i
(
x
n
)
z
d
z
z
=
∑
n
<
x
f
(
n
)
n
s
{\displaystyle \sum _{n<x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}=\sum _{n<x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
.
Zaś jeśli
a
=
x
/
n
<
1
{\displaystyle a=x/n<1}
, to
|
∑
n
>
x
f
(
n
)
n
s
∫
c
−
T
i
c
+
T
i
(
x
n
)
z
d
z
z
|
⩽
∑
n
>
x
|
f
(
n
)
|
n
σ
2
T
(
x
n
)
c
1
log
(
1
+
⌊
x
⌋
x
)
=
2
T
x
c
log
(
1
+
⌊
x
⌋
x
)
∑
n
>
x
|
f
(
n
)
|
n
c
+
σ
{\displaystyle \left|\sum _{n>x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}\right|\leqslant \sum _{n>x}{\frac {|f(n)|}{n^{\sigma }}}{\frac {2}{T}}\left({\frac {x}{n}}\right)^{c}{\frac {1}{\log \left({\frac {1+\lfloor x\rfloor }{x}}\right)}}={\frac {2}{T}}{\frac {x^{c}}{\log \left({\frac {1+\lfloor x\rfloor }{x}}\right)}}\sum _{n>x}{\frac {|f(n)|}{n^{c+\sigma }}}}
,
gdzie
⌊
⋅
⌋
{\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }
oznacza część całkowitą liczby. Występujący czynnik będący szeregiem jest skończony, więc prawa strona dąży do 0 gdy
T
→
∞
{\displaystyle T\to \infty }
. To dowodzi wzór Perrona[2] .
Klasyczne przykłady wykorzystania wzoru Perrona dotyczą przede wszystkim funkcji zeta Riemanna . Wszystkie one dotyczą przedstawienia funkcji na półpłaszczyźnie
σ
>
1
{\displaystyle \sigma >1}
, ze względu na charakter twierdzenia.
ζ
(
s
)
=
s
∫
1
∞
⌊
x
⌋
x
s
+
1
d
x
{\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}dx}
,
1
ζ
(
s
)
=
s
∫
1
∞
M
(
x
)
x
s
+
1
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}dx}
,
gdzie
M
(
x
)
=
∑
n
⩽
x
μ
(
n
)
{\textstyle M(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)}
oznacza funkcję Mertensa ,
−
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
=
s
∫
1
∞
ψ
(
x
)
x
s
+
1
d
x
,
{\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}dx,}
gdzie
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
jest drugą funkcją Czebyszewa [2] .