Niech
A
1
,
A
2
…
A
n
{\displaystyle A_{1},A_{2}\dots A_{n}}
i
,
j
,
k
∈
{
1
,
…
,
n
}
.
{\displaystyle i,j,k\in \{1,\dots ,n\}.}
|
⋃
i
=
1
n
A
i
|
=
∑
i
=
1
n
|
A
i
|
−
∑
i
,
j
:
i
<
j
|
A
i
∩
A
j
|
+
∑
i
,
j
,
k
:
i
<
j
<
k
|
A
i
∩
A
j
∩
A
k
|
−
…
+
(
−
1
)
n
−
1
|
A
1
∩
…
∩
A
n
|
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|&=\sum _{i=1}^{n}|A_{i}|-\sum _{i,j:\,i<j}|A_{i}\cap A_{j}|\\&+\sum _{i,j,k:\,i<j<k}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}|-\ldots +(-1)^{n-1}|A_{1}\cap \ldots \cap A_{n}|,\end{aligned}}}
gdzie
|
A
k
|
{\displaystyle |A_{k}|}
moc zbioru
A
k
.
{\displaystyle A_{k}.}
Dla trzech zbiorów skończonych
A
1
,
A
2
,
A
3
{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}
|
A
1
∪
A
2
∪
A
3
|
=
|
A
1
|
+
|
A
2
|
+
|
A
3
|
−
|
A
1
∩
A
2
|
−
|
A
1
∩
A
3
|
−
|
A
2
∩
A
3
|
+
|
A
1
∩
A
2
∩
A
3
|
.
{\displaystyle |A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}|=|A_{1}|+|A_{2}|+|A_{3}|-|A_{1}\cap A_{2}|-|A_{1}\cap A_{3}|-|A_{2}\cap A_{3}|+|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}|.}
Wzór zapewnia, że elementy znajdujące się jednocześnie w kilku spośród zbiorów
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
{\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}
Niech element
a
{\displaystyle a}
m
{\displaystyle m}
A
1
,
A
2
…
A
n
.
{\displaystyle A_{1},A_{2}\dots A_{n}.}
⋃
i
=
1
n
A
i
{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}
∑
i
=
1
n
|
A
i
|
−
∑
i
,
j
:
i
<
j
|
A
i
∩
A
j
|
+
∑
i
,
j
,
k
:
i
<
j
<
k
|
A
i
∩
A
j
∩
A
k
|
−
…
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|A_{i}|-\sum _{i,j:\,i<j}|A_{i}\cap A_{j}|+\sum _{i,j,k:\,i<j<k}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}|-\dots }
…
+
(
−
1
)
n
−
1
|
A
1
∩
…
∩
A
n
|
{\displaystyle \ldots +(-1)^{n-1}|A_{1}\cap \ldots \cap A_{n}|}
liczba zliczeń pojedynczego elementu jest równa:
m
−
(
m
2
)
+
(
m
3
)
+
…
+
(
−
1
)
m
(
m
m
−
1
)
+
(
−
1
)
m
+
1
1
=
1
−
(
m
0
)
+
(
m
1
)
+
…
+
(
−
1
)
m
(
m
m
−
1
)
+
(
−
1
)
m
+
1
(
m
m
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}m&-{m \choose 2}+{m \choose 3}+\ldots +(-1)^{m}{m \choose {m-1}}+(-1)^{m+1}1\\=1&-{m \choose 0}+{m \choose 1}+\ldots +(-1)^{m}{m \choose {m-1}}+(-1)^{m+1}{m \choose m},\end{aligned}}}
bowiem występuje on w
m
{\displaystyle m}
A
1
,
A
2
…
A
n
,
{\displaystyle A_{1},A_{2}\dots A_{n},}
(
m
2
)
{\displaystyle m \choose 2}
A
i
∩
A
j
,
1
⩽
i
<
j
⩽
n
{\displaystyle A_{i}\cap A_{j},1\leqslant i<j\leqslant n}
Na mocy rozwinięcia Newtona wyrażenie to jest równe
1
−
(
1
−
1
)
m
=
1
−
0
=
1
,
{\displaystyle 1-(1-1)^{m}=1-0=1,}
Zasada włączeń i wyłączeń pozostaje prawdziwa, gdy nasze rozważania przeniesiemy na dowolną przestrzeń mierzalną
(
X
,
Σ
,
μ
)
.
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ).}
Niech dana będzie przestrzeń mierzalna
(
X
,
Σ
,
μ
)
.
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ).}
σ
{\displaystyle \sigma }
Σ
{\displaystyle \Sigma }
A
1
,
A
2
…
A
n
{\displaystyle A_{1},A_{2}\dots A_{n}}
μ
(
⋃
i
=
1
n
A
i
)
=
∑
i
=
1
n
μ
(
A
i
)
−
∑
i
,
j
:
i
<
j
μ
(
A
i
∩
A
j
)
+
∑
i
,
j
,
k
:
i
<
j
<
k
μ
(
A
i
∩
A
j
∩
A
k
)
−
…
+
(
−
1
)
n
−
1
μ
(
A
1
∩
…
∩
A
n
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)&=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})-\sum _{i,j:\,i<j}\mu (A_{i}\cap A_{j})\\&+\sum _{i,j,k:\,i<j<k}\mu (A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k})-\ldots +(-1)^{n-1}\mu (A_{1}\cap \ldots \cap A_{n}).\end{aligned}}}
W szczególności, podana wcześniej moc zbioru jest miarą liczącą .
W teorii prawdopodobieństwa , gdzie rozważa się przestrzenie zdarzeń elementarnych, wraz z określonymi nań miarami probabilistycznymi, zwanymi prawdopodobieństwami, wzór włączeń-wyłączeń odgrywa rolę przy liczeniu prawdopodobieństwa zajścia odpowiednich zdarzeń. Dla dowolnych zdarzeń
A
1
,
A
2
…
A
n
{\displaystyle A_{1},A_{2}\dots A_{n}}
P
(
A
1
∪
A
2
)
=
P
(
A
1
)
+
P
(
A
2
)
−
P
(
A
1
∩
A
2
)
{\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2})=\mathbb {P} (A_{1})+\mathbb {P} (A_{2})-\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})}
i ogólnie
P
(
⋃
i
=
1
n
A
i
)
=
∑
i
=
1
n
P
(
A
i
)
−
∑
i
,
j
:
i
<
j
P
(
A
i
∩
A
j
)
+
∑
i
,
j
,
k
:
i
<
j
<
k
P
(
A
i
∩
A
j
∩
A
k
)
−
…
+
(
−
1
)
n
−
1
P
(
A
1
∩
…
∩
A
n
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)&=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})-\sum _{i,j:\,i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})\\&+\sum _{i,j,k:\,i<j<k}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k})-\ldots +(-1)^{n-1}\mathbb {P} (A_{1}\cap \ldots \cap A_{n}),\end{aligned}}}
gdzie
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
przestrzeni probabilistycznej ).
Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa . Warszawa: SCRIPT, 2001, s. 11–12. Zbigniew Bobiński, Lev Kourliandtchik, Mirosław Uscki: Miniatury matematyczne. Elementarne metody w kombinatoryce . Toruń: Wydawnictwo Aksjomat, 2002, s. 11–15. ISBN 83-87329-35-5 . 
