Brachistochrona

Brachistochrona, krzywa najkrótszego spadku (gr. βραχιστoς brachistos – „najkrótszy” + χρovoς chronos – „czas”) – krzywa, po której masa punktowa pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) stacza się w możliwie najkrótszym czasie. Brachistochrona jest fragmentem cykloidy[1].

Brachistochrona

Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny. Postawiony w 1696 przez Johanna Bernoulliego problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza, Newtona, Johanna Bernoulliego oraz de l’Hospitala.

Braquistócrona.gif

Rozwiązanie zagadnieniaEdytuj

Przy założeniu, że równaniem szukanej krzywej jest   punkty   i   można zapisać następująco:

  oraz  

Rodzina funkcji (funkcjonał) spełniających założenia problemu jest opisana jako:

 

gdzie:

 długość krzywej,
  – prędkość, którą można wyznaczyć z zasady zachowania energii:
 

stąd:

 

Wyrażenia na   i   można teraz wstawić do wyjściowej całki:

 

Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt   jako   co upraszcza dalsze rachunki. Dodatkowo można założyć również, że oś   skierowana jest do dołu. Zatem aby rozwiązać postawione zagadnienie, należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału:

 

Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej   można zamiast równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego  

 

gdzie   oznacza pewną stałą. Po uproszczeniu powyższego wyrażenia otrzymuje się:

 

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest cykloida postaci:

 
 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Brachistochrona, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-29].

Linki zewnętrzneEdytuj