Kryterium Dirichleta zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych

Kryterium Dirichleta – warunek wystarczający zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego postaci

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)g_{n}(x).$

Nazwa pochodzi od nazwiska Petera Gustawa Dirichleta.

Kryterium

Niech $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ i $(g_{n})_{n=1}^{\infty }$ będą takimi ciągami funkcji skalarnych określonych na wspólnej dziedzinie $A,$ że

• istnieje taka liczba dodatnia $M$ że dla wszystkich liczb naturalnych $n$ oraz wszystkich elementów $x$ należących do $A{:}$

$\left|\sum _{i=1}^{n}f_{i}(x)\right|\leqslant M,$

• dla każdego $x$ ze zbioru $A$ ciąg $(g_{n}(x))_{n=1}^{\infty }$ jest monotoniczny oraz zbieżny jednostajnie do $0.$

Wówczas szereg funkcyjny

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)g_{n}(x)$

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $A.$

Istnieje wersja powyższego kryterium dla całek niewłaściwych, mianowicie kryterium Dirichleta zbieżności całek niewłaściwych.

W przypadku, gdy $(g_{n})$ jest monotonicznym ciągiem liczbowym zbieżnym do $0,$ kryterium Dirichleta można uogólnić na szeregi w przestrzeniach Banacha. Szczególnym przypadkiem powyższego kryterium jest kryterium Dirichleta dla szeregów liczbowym (tj. przypadek, gdy $A$ jest zbiorem jednoelementowym).

Kryterium Dirichleta o zbieżności szeregów liczbowych

Jeżeli ciąg sum częściowych

$\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$

szeregu liczbowego

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

jest ograniczony, a $(b_{n})_{n=1}^{\infty }$ jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do $0,$ to szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

jest zbieżny.

Zobacz też

• kryteria zbieżności szeregów
• kryterium Abela
• kryterium Weierstrassa
• zbieżność monotoniczna
• zbieżność punktowa ciągu funkcji

Bibliografia

• Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. czwarte. T. II. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 371.
• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000, s. 184–185. ISBN 830232-1049-7.