Kryterium Abela

Kryterium Abela – warunek wystarczający zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego postaci

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)g_{n}(x).$

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Nielsa Abela.

Kryterium

Niech $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ i $(g_{n})_{n=1}^{\infty }$ będą ciągami funkcji skalarnych określonych na wspólnej dziedzinie $A.$

Jeśli

• szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}(x)$

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $A;$

• dla każdego $x$ ze zbioru $A$ ciąg $(f_{n}(x))_{n=1}^{\infty }$ jest monotoniczny;
• istnieje taka liczba $M,$ że dla prawie każdej liczby naturalnej $n$ oraz wszystkich elementów $x$ zbioru $A$ spełniony jest warunek

$|f_{n}(x)|\leqslant M,$

to szereg funkcyjny

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)g_{n}(x)$

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $A.$

Szczególnym przypadkiem powyższego kryterium jest kryterium Abela dla szeregów liczbowym (tj. przypadek, gdy $A$ jest zbiorem jednoelementowym).

Kryterium Abela dla szeregów liczbowych

Niech $(a_{n})_{n=1}^{\infty },(b_{n})_{n=1}^{\infty }$ będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli szereg liczbowy

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

jest zbieżny, a ciąg $(b_{n})_{n=1}^{\infty }$ jest monotoniczny i ograniczony, to szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

jest zbieżny.

Zobacz też

• kryteria zbieżności szeregów
• kryterium Dirichleta
• kryterium Weierstrassa
• zbieżność punktowa
• zbieżność monotoniczna

Bibliografia

• Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. czwarte. T. II. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 370.
• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000, s. 184–185.