Okrąg dziewięciu punktów

Feuerbach circle.svg

Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha[1] lub okrąg Eulera[2] jest to okrąg, który przechodzi przez dziewięć charakterystycznych punktów dowolnego trójkąta. Punktami tymi są:

Historia odkryciaEdytuj

W 1822 roku Karl Wilhelm Feuerbach, którego nazwiskiem nazywa się czasem okrąg dziewięciu punktów, zauważył, że sześć charakterystycznych punktów trójkąta – środki boków oraz spodki wysokości – leżą na wspólnym okręgu. Odkrycia tego dokonali wcześniej,w 1821 roku, Charles Brianchon i Jean-Victor Poncelet[3]. Jeszcze wcześniej, nad współokręgowością wspomnianych punktów zastanawiali się Benjamin Bevan (1804) i John Butterworth (1807)[3].

Krótko po Feuerbachu, matematyk Olry Terquem niezależnie udowodnił istnienie okręgu i jako pierwszy zauważył, że leżą na nim również środki odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum. Terquem jako pierwszy użył również nazwy „okrąg dziewięciu punktów”[4].

DowódEdytuj

W trójkącie   przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku obok:

  •   to odpowiednio spodki wysokości opuszczonych z wierzchołków  
    •   to ortocentrum, czyli punkt przecięcia się wysokości w trójkącie,
  •   to punkty połowiące odcinki  
  •   to punkty połowiące boki trójkąta:  

Rozważmy trójkąt   i okrąg na nim opisany. Zauważmy, że kąt   jest prosty, jako że   jest wysokością trójkąta   Oznacza to, że odcinek   jest średnicą okręgu opisanego na  

Z definicji punktów   oraz   zachodzi

 

co oznacza, dzięki twierdzeniu twierdzeniu odwrotnemu do twierdzenia Talesa, że

  a zatem i
 

Analogicznie, ponieważ

 

więc

 

Ale   a co za tym idzie

 

co oznacza, że trójkąt   także jest prosty, a więc punkty   leżą na jednym okręgu.

Podobnie pokazujemy, że   oraz   a korzystając z tego, że   otrzymujemy, że trójkąt   także jest prostokątny, co oznacza, że punkty   leżą na wspólnym okręgu.

Konstrukcję powtarzamy rozpoczynając od punktów   i   a następnie od   i   W ich wyniku otrzymujemy, że każda z piątek punktów

  •  
  •   oraz
  •  

jest współokręgowa. Ale na trzech (wspólnych dla piątek) punktach   można opisać tylko jeden okrąg, co oznacza, że dziewięć punktów

 

leży na wspólnym okręgu.

WłasnościEdytuj

 
Styczność okręgu dziewięciu punktów z okręgiem wpisanym i okręgami dopisanymi

Twierdzenie FeuerbachaEdytuj

Karl Wilhelm Feuerbach udowodnił, że w dowolnym trójkącie okrąg dziewięciu punktów jest styczny wewnętrznie do okręgu wpisanego i zewnętrznie do trzech okręgów dopisanych[5]. Punkt styczności okręgu wpisanego i okręgu dziewięciu punktów nazywa się często punktem Feuerbacha[6].

Inne własnościEdytuj

  • Środek okręgu dziewięciu punktów leży na tzw. prostej Eulera, dokładnie w połowie odcinka pomiędzy ortocentrum tego trójkąta a środkiem okręgu na nim opisanego[7].
 
Okrąg dziewięciu punktów ma dwukrotnie mniejszy promień, niż okrąg opisany na trójkącie. Porównując trójkąty   i   łatwo zauważyć, że środek każdego odcinka łączącego ortocentrum   z dowolnym punktem na okręgu opisanym leży na okręgu dziewięciu punktów.
  • Promień okręgu opisanego na trójkącie jest dwukrotnie większy od promienia okręgu dziewięciu punktów tego trójkąta[8]. Wynika to z faktu, że trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków trójkąta wyjściowego jest od niego dwukrotnie mniejszy.
  • Okrąg dziewięciu punktów połowi każdy odcinek łączący ortocentrum tego trójkąta z dowolnym punktem na okręgu opisanym.
  • Każdy z trzech środków odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum jest obrazem środków boków trójkąta w symetrii względem środka okręgu dziewięciu punktów.
  • Środki wszystkich hiperbol prostokątnych (tj. hiperbol o asymptotach przecinających się pod kątem prostym), które przechodzą przez wierzchołki trójkąta, leżą na okręgu dziewięciu punktów tego trójkąta[9]. Jest to fakt znany jako twierdzenie stożkowe Feuerbacha.
  • Przy oznaczeniach jak wyżej, wszystkie trójkąty o wierzchołkach wybranych z punktów   będą miały ten sam okrąg dziewięciu punktów. Jest to prawdziwe dla dowolnego układu ortocentrycznego punktów[10][11].
    • Wynika to z prostej symetrii: w trójkącie   okrąg dziewięciu punktów musi przechodzić przez środki boków   oraz   Ale są to również te same punkty (środek jednego boku i środki dwóch odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum), przez które musi przechodzi okrąg dziewięciu punktów w trójkącie  
    • Wynika z tego od razu, że okręgi opisane na wszystkich czterech trójkątach układu mają ten sam promień.
  • Środek okręgu dziewięciu punktów jest centroidem czterech punktów: wierzchołków trójkąta oraz jego ortocentrum.
  • W trójkącie środki okręgów: wpisanego i dopisanych tworzą układ ortocentryczny. Okrąg dziewięciu punktów tego układu jest zarazem okręgiem opisanym na trójkącie wyjściowym[12]. Spodki wysokości w układzie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta.
 
Okręgi dziewięciu punktów dla nieortocentrycznego układu punktów   Na różowo zaznaczono krzywą, przechodzącą przez środki boków trójkątów (na jasnozielono) oraz przez przecięcie wszystkich okręgów (na czerwono), o środku w centroidzie czworokąta   (na niebiesko). Na zielono zaznaczono hiperbolę Kieperta, przechodzącą przez cztery punkty wyjściowe punkty, jak i przez ortocentra trójkątów z tych punktów utworzonych, o środku w punkcie przecięcia się okręgów. Animacja pokazuje, co dzieje się, gdy układ punktów staje się ortocentryczny.
  • Jeśli dane są cztery punkty   które nie tworzą układu ortocentrycznego, to wtedy cztery okręgi dziewięciu punktów trójkątów   i   przecinają się w jednym punkcie. Sześć pozostałych punktów przecięć czterech okręgów pokrywa się ze środkami boków trójkątów.
    • Ponadto istnieje dokładnie jedna stożkowa, o środku w centroidzie czterech punktów   która przechodzi przez wszystkie siedem punktów przecięć czterech okręgów dziewięciu punktów.
    • Co więcej, na podstawie stożkowego twierdzenia Feuerbacha istnieje dokładnie jedna krzywa stożkowa prostokątna, zwana hiperbolą Kieperta o środku w przecięciu czterech okręgów dziewięciu punktów, która przechodzi przez wszystkie cztery punkty   jak i również przez ortocentra czterech powyższych trójkątów[9].
 
Na rysunku: okręgi dziewięciu punktów dla trójkątów   i   okrąg do nich przystający o środku w antycentrum czworoktąta   (na czerwono) oraz leżący na tym okręgu obraz czworokąta   w jednokładności względem punktu   (na fioletowo).
  • Jeśli cztery punkty   tworzą czworokąt, który da się wpisać w okrąg, to okręgi dziewięciu punktów trójkątów   i   przecinają się w punkcie zwanym antycentrum tego czworokąta[13][14].
    • Jako że okrąg, w który wpisany jest czworokąt   jest również okręgiem opisanym na każdym z trójkątów powyżej, każdy z okręgów dziewięciu punktów tych trójkątów będzie miał taki sam promień, wynoszący połowę długości promienia okręgu opisanego.
    • Okręgi dziewięciu punktów są zbiorem tzw. okręgów Johnsona. Środki tych okręgów są współokręgowe i leżą na okręgu o takim samym promieniu, jak okręgi dziewięciu punktów, o środku w antycentrum czworokąta wpisanego. Co więcej, czworokąt utworzony ze środków czterech okręgów dziewięciu punktów jest obrazem wyjściowego czworokąta w jednokładności o skali   i środku w punkcie   dzielącym odcinek pomiędzy środkiem okręgu opisanego   i antycentrum   tak, aby  [15].
  • Współrzędne trójliniowe środka okręgu dziewięciu punktów to  [16]
  • Współrzędne trójliniowe punktu Feuerbacha to  [6]
  • Współrzędne trójliniowe środka hiperboli Kieperta to  [17]

UogólnieniaEdytuj

Okrąg dziewięciu punktów jest krzywą stożkową przechodzącą przez dziewięć punktów trójkąta: środki boków, połowy odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum oraz spodki wysokości. Jeśli zamiast spodków wysokości trójkąta wziąć spodki dowolnych trzech, wychodzących z wierzchołków, przecinających się w jednym punkcie odcinków, to okaże się, że przez te punkty przechodzi dokładnie jedna krzywa stożkowa zwana krzywą dziewięciu punktów[18].

PrzypisyEdytuj

  1. Coxeter 1961 ↓, s. 18–20.
  2. Kurlyandchik ↓, s. 123–126.
  3. a b Wells 1991 ↓, s. 159.
  4. Bottema 2008 ↓, s. 20.
  5. Feuerbach i Buzengeiger 1822 ↓.
  6. a b Kimberling 2013 ↓, X(11).
  7. Coxeter 1961 ↓, s. 71.
  8. Dörrie 1965 ↓, s. 142–144.
  9. a b Wells 1991 ↓, s. 209.
  10. Wells 1991 ↓, s. 76,165.
  11. Zetel 1964 ↓, s. 57–58.
  12. Coxeter i Greitzer 1967 ↓, s. 22.
  13. Yiu 1998 ↓, s. 154.
  14. Johnson 1960 ↓, s. 209,243.
  15. Crux Mathematicorum ↓, s. 514–515.
  16. Kimberling 2013 ↓, X(5).
  17. Kimberling 2013 ↓, X(115).
  18. Russell 1905 ↓, s. 120–121.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj