Przestrzeń ściśle wypukła

Przestrzeń ściśle wypukłaprzestrzeń unormowana o tej własności, że brzeg kuli jednostkowej (tj. sfera jednostkowa) tej przestrzeni nie zawiera odcinka, tj. każda prosta w przestrzeni ma co najwyżej dwa punkty wspólne ze sferą jednostkową.

Definicje równoważne

edytuj

Niech   będzie przestrzenią Banacha. Wówczas następując warunki są równoważne:

  •   jest ściśle wypukła,
  • jeżeli   są elementami sfery jednostkowej przestrzeni   to  
  • jeżeli   są elementami sfery jednostkowej przestrzeni   to   dla wszelkich  
  • jeżeli   i   są niezerowymi elementami przestrzeni   oraz   to   dla pewnej liczby  [1].

Przykłady

edytuj
  • Przestrzeń c0 nie jest ściśle wypukła, gdyż dla       jednak   i   nie są liniowo zależne[2]. Ogólniej, jeżeli przestrzeń zwarta Hausdorffa   ma co najmniej 2 punkty, to przestrzeń funkcji ciągłych   nie jest ściśle wypukła[2].
  • Dla   przestrzeń ℓp (bądź  ) jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy   (W tym przypadku, z nierówności Hannera wynika, że są one jednostajnie wypukłe).

Przenormowania ściśle wypukłe

edytuj
  • Jeżeli   jest przestrzenią ściśle wypukłą, a   jest taką przestrzenią Banacha, że istnieje różnowartościowy, ograniczony operator liniowy   to wzór   określa normę równoważną w   która jest ściśle wypukła. W konsekwencji, w każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha   można wprowadzić normę równoważną, która jest ściśle wypukła, ponieważ istnieje operator różnowartościowy  
  • Day wykazał, że dla każdego zbioru nieprzeliczlnego   przestrzeń   wszystkich ograniczonych funkcji rzeczywistych na   nie ma równoważnej normy ściśle wypukłej (nie ma takiej normy podprzestrzeń przestrzeni  ) złożona z tych funkcji których co najwyżej przeliczalnie wiele współrzędnych jest niezerowych[3] W tej samej pracy, Day wykazał, że w   istnieje równoważna norma ściśle wypukła. Amir i Lindenstrauss wykazali, że dla każdej przestrzeni typu WCG   istnieje różnowartościowy, ograniczony operator liniowy   dla pewnego zbioru  [4]. W konsekwencji w każdej przestrzeni typu WCG można wprowadzić równoważną normę ściśle wypukłą.
  • Operator   dany wzorem   jest ograniczony i różnowartościowy, a zatem w przestrzeni   można wprowadzić równoważną normę ściśle wypukłą. Bourgain udowodnił, że w przestrzeni ilorazowej   nie ma ściśle wypukłej normy równoważnej[5].

Przypisy

edytuj
  1. Megginson 1998 ↓, s. 432.
  2. a b Megginson 1998 ↓, s. 428.
  3. M. M. Day, Strict convexity and smoothness of normed spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 78, 516–528 (1955).
  4. D. Amir, J. Lindenstrauss, The structure of weakly compact sets in Banach spaces, Ann. of Math. 88 (1968), 35–64.
  5. J. Bourgain, / c0 has no equivalent strictly convex norm, Proc. Amer. Math. Soc. 78 (1980), 225–226.

Bibliografia

edytuj
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.