Przestrzeń WCG

Przestrzeń WCG (ang. weakly compactly generated space; przestrzeń generowana przez zbiór słabo zwarty) – przestrzeń Banacha $X$ zawierająca słabo zwarty podzbiór $K$ o tej własności, że podprzestrzeń liniowa generowana przez ten zbiór jest gęsta w $X$ (innymi słowy $K$ jest słabo zwarty i liniowo gęsty), tj.

$X={\overline {{\mbox{span}}\,K}}$.

Pojęcie przestrzeni WCG, wprowadzone w 1968 roku przez D. Amira i J. Lindenstraussa, uogólnia jednocześnie pojęcia ośrodkowej przestrzeni Banacha oraz przestrzeni refleksywnej.

Przykłady

• Gdy $X$ jest ośrodkową przestrzenią Banacha oraz $\{x_{n}:n=1,2,\dots \}$ jest gęstym podzbiorem jej kuli jednostkowej, to

$K=\{{\tfrac {1}{n}}x_{n}\colon n=1,2,\dots \}\cup \{0\}$

jest słabo zwarty oraz liniowo gęsty w $X$ (tj. generuje $X$).

• W przypadku, gdy $X$ jest refleksywna, domknięta kula jednostkowa $B_{X}$ przestrzeni $X$ jest słabo zwarta. Ponieważ $X=\operatorname {span} B_{X},$ każda przestrzeń refleksywna jest WCG.
• Dla dowolnej przestrzeni z miarą σ-skończoną $(\Omega ,\mu ),$ przestrzeń L₁ (μ) jest WCG. Istotnie, niech $\{A_{n}:n=1,2,3,\dots \}$ będzie rozbiciem $\Omega$ na parami rozłączne zbiory $\mu$-mierzalne dla których $0<\mu (A_{n})<\infty$ dla każdego $n.$ Niech $f\colon \Omega \to [0,1]$ będzie funkcją daną wzorem $f(x)=(\mu (A_{n})\cdot 2^{n})^{-1}$ gdy $x\in A_{n}$ dla pewnego $n=1,2,3,\dots$ Funkcja $f$ jest $\mu$-mierzalna oraz $\int _{\Omega }f\mathrm {d} \mu =1.$ Miara $\mathrm {d} \nu =f\mathrm {d} \mu$ jest miarą probabilistyczną oraz przestrzenie Banacha $L_{1}(\mu )$ i $L_{1}(\nu )$ są liniowo izometryczne poprzez odwzorowanie $T\colon L_{1}(\mu )\to L_{1}(\nu )$ dane wzorem $Tg=g/f(g\in L_{1}(\mu )).$

Wystarczy zatem pokazać, że przestrzeń $L_{1}(\nu )$ jest WCG. Ponieważ miara $\nu$ jest skończona, z nierówności Höldera wynika istnienie inkluzji przestrzeni Hilberta $L_{2}(\nu )$ w $L_{1}(\nu ).$ W szczególności, operator inkluzji $J\colon L_{2}(\nu )\to L_{1}(\nu )$ jest różnowartościowy i ma gęsty obraz. Ponieważ kula przestrzeni $L_{2}(\nu )$ jest słabo zwarta, operator $J$ jest ograniczony (a więc $J$ jest również ciągły jako operator między przestrzeniami $L_{2}(\nu )$ a $L_{1}(\nu )$ wyposażonymi w słabe topologie), obraz kuli $L_{2}(\nu )$ poprzez $J$ jest słabo zwarty w $L_{1}(\nu )$ i liniowo gęsty, a więc $L_{1}(\nu )$ jest WCG.

• Dla dowolnego zbioru $\Gamma$ przestrzeń c₀ (Γ) z normą supremum jest WCG. Ponadto, każda jej domknięta podprzestrzeń jest również WCG.
• Przestrzeń funkcji ciągłych $C(K)$ na przestrzeni zwartej Hausdorffa $K$ jest WCG wtedy i tylko wtedy, gdy $K$ jest przestrzenią Eberleina.
• Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Johnsona-Lindenstraussa jest izomorficzna z $\ell _{1}\oplus \ell _{2}(c),$ która jest WCG jako suma przestrzeni ośrodkowej i refleksywnej, podczas gdy sama przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa nie jest WCG.

Własności

• Jeżeli $X$ jest WCG, to domknięta kula jednostkowa jej przestrzeni sprzężonej z *-słabą topologią jest przestrzenią Eberleina.
• Kula jednostkowa przestrzeni sprzężonej do podprzestrzeni przestrzeni WCG jest ciągowo zwarta w *-słabej topologii.
• Przestrzeń WCG ze słabą topologią jest przestrzenią Lindelöfa.
• Przeliczalne $\ell _{1}$-sumy oraz dowolne $\ell _{p}$-sumy $(p\in (1,\infty ))$ i dowolne $c_{0}$-sumy rodzin przestrzeni typu WCG są WCG.

Dowód. Niech $(E_{i})$ będzie rodziną przestrzeni typu WCG oraz niech $K_{i}$ będzie zbiorem słabo zwartym generującym $E_{i}.$ Bez straty ogólności można założyć, że dla każdego $i$ zbiór $K_{i}$ jest zbalansowany, tj. $\lambda K_{i}\subseteq K_{i},$ gdy $|\lambda |\leqslant 1.$ W przypadku, gdy $p\in (1,\infty ),$ to zbiór

$\textstyle \{f\in \left(\bigoplus _{i}E_{i}\right)_{\ell _{p}}\colon f(i)\in K_{i},\|f\|\leqslant 1\}$

jest słabo zwarty oraz generuje sumę $(\oplus _{i}E_{i})_{\ell _{p}}.$ Ponieważ formalna identyczność id: $(\oplus _{i}E_{i})_{\ell _{2}}\to (\oplus _{i}E_{i})_{c_{0}}$ jest ciągła oraz ma gęsty obraz, przestrzeń $(\oplus _{i}E_{i})_{c_{0}}$ jest również WCG, gdy każdy składnik $E_{i}$ jest WCG. Gdy $(E_{n})$ jest ciągiem przestrzeni typu WCG (przestrzeń $E_{n}$ generowana jest przez zbiór słabo zwarty $K_{n}$), to zbiór

$\textstyle \{f\in \left(\bigoplus _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)_{\ell _{1}}\colon f(n)\in K_{n},\|f(n)\|\leqslant {\tfrac {1}{n^{2}}}\}$

jest słabo zwarty oraz generuje $(\oplus _{n}E_{n})_{\ell _{1}}.$ □

Problem dziedziczności własności WCG na podprzestrzenie

Domknięta podprzestrzeń przestrzeni WCG $X$ nie musi być przestrzenią WCG nawet w przypadku, gdy $X$ ma bezwarunkową bazę Schaudera bądź druga przestrzeń sprzężona $X^{**}$ jest WCG. Jeżeli jednak zarówno przestrzenie $X^{*}$ i $X^{**}$ są WCG, to $X$ jest również WCG.

Algebry Banacha a własność WCG

W przypadku gdy $A$ jest C*-algebrą, następujące własności są równoważne:

1. $A^{*}$ jest WCG,
2. $A$ jest ośrodkowa oraz $A^{*}$ ma własność Radona-Nikodýma,
3. $A^{*}$ jest ośrodkowa.

Gdy $G$ jest lokalnie zwarta przestrzenią Hausdorffa, to następujące warunki są równoważne:

1. algebra Fouriera $A(G)$ jest WCG,
2. przestrzeń $C_{0}(G)$ jest WCG,
3. $G$ spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.

Bibliografia

• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183. Brak numerów stron w książce
• Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1. Brak numerów stron w książce