Przestrzeń Eberleina

typ zwartej przestrzeni topologicznej

Przestrzeń Eberleina (albo kompakt Eberleina) – zwarta przestrzeń topologiczna, która jest homeomorficzna ze słabo zwartym podzbiorem pewnej przestrzeni Banacha. Ernest Michael i Mary Ellen Rudin udowodnili[1], że każda przestrzeń zwarta, którą można przedstawić jako sumę jej dwóch metryzowalnych podprzestrzeni jest przestrzenią Eberleina. Przestrzeń zwarta X jest przestrzenią Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podzbiór zwarty Y przestrzeni Cp(X), który rozdziela punkty (jako rodzina funkcji).

Własności

edytuj
  • Każda przestrzeń Eberleina zawiera gęstą podprzestrzeń metryzowalną.
  • Liczba Suslina przestrzeni Eberleina jest równa jej wadze.
  • Nie istnieje ograniczenie górne dla mocy przestrzeni Eberleina - dla każdej liczby kardynalnej κ kula domknięta przestrzeni Hilberta2(κ) ze słabą topologią jest przestrzenią Eberleina.
  • Produkt przeliczalnie wielu przestrzeni Eberleina jest przestrzenią Eberleina.
  • Domknięta podprzestrzeń przestrzeni Eberleina jest przestrzenią Eberleina.
  • Obraz poprzez funkcję ciągła przestrzeni Eberleina jest przestrzenią Eberleina (w klasie przestrzeni Hausdorffa)[2].
  • Liniowo uporządkowane przestrzenie Eberleina są metryzowalne[3]
  • Każda przestrzeń metryzowalna jest homeomorficzna z podprzestrzenią pewnej przestrzeni Eberleina.
  • Każda przestrzeń Eberleina jest dziedzicznie σ-metazwarta[4]. Istvan Juhász, Zoltán Szentmiklóssy i Andrzej Szymański udowodnili, że własność ta charakteryzuje przestrzenie Eberleina w klasie przestrzeni o skończonym indeksie metryzowalności[5], to znaczy przestrzeni, które można przedstawić w postaci sumy skończenie wielu swoich podprzestrzeni metryzowalnych.
  • Przestrzeń zwarta Hausdorffa K jest przestrzenią Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń Banacha C(K) jest typu WCG, tj. zawiera liniowo gęsty zbiór słabo zwarty[6].
  • Jeżeli K jest przestrzenią Eberleina to przestrzeń Banacha C(K) jest przestrzenią Lindelöfa w słabej topologii. Pol wykazał, że przeciwna implikacja nie zachodzi[7], rozwiązując tym problem Corsona[8].

Przykłady

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. E. Michael, M.E. Rudin, Another note on Eberlein compacts, Pacific Journal of Mathematics. 72, 2 (1977), ss. 497-499
  2. Y. Benyamini, M.E. Rudin, M. Wage, Continuous images of weakly compact subsets of Banach spaces, Pacific J. Math. 70 (1977), ss. 309–324
  3. H.R. Bennett, D.J. Lutzer, J.M. van Wouwe, Linearly ordered Eberlein compact spaces, Topology and its Applications, 12, Issue 1, (1981), 11–18.
  4. N. Yakovlev, On bicompacta in Σ-products and related spaces, Comment. Math. Univ. Carolin. 21, 2 (1980), ss. 263-283
  5. I. Juhász, Z. Szentmiklóssy, A. Szymański, Eberlein spaces of finite metrizability number, Comment. Math. Univ.Carolin. 48, 2 (2007) ss. 291-301
  6. J. Lindenstrauss, Weakly compact sets-their topological properties and the Banach spaces they generate, Ann. Math. Stud., Vol. 69, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ (1972), 235-273.
  7. R. Pol, A function space C(X) which is weakly Lindelöf but not weakly compactly generated, Studia Math. 64 (1979), 279-285.
  8. H. Corson, The weak topology of a Banach space, Trans. Amer. Math. Soc., 101 (1961), 1-15.
  9. K. Alster, Some remarks on Eberlein compacts, Fund. Math. 104 (1979), 43-46.

Bibliografia

edytuj