Przestrzeń Eberleina
Przestrzeń Eberleina (albo kompakt Eberleina) – zwarta przestrzeń topologiczna, która jest homeomorficzna ze słabo zwartym podzbiorem pewnej przestrzeni Banacha. Ernest Michael i Mary Ellen Rudin udowodnili[1], że każda przestrzeń zwarta, którą można przedstawić jako sumę jej dwóch metryzowalnych podprzestrzeni jest przestrzenią Eberleina. Przestrzeń zwarta X jest przestrzenią Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podzbiór zwarty Y przestrzeni Cp(X), który rozdziela punkty (jako rodzina funkcji).
Własności edytuj
- Każda przestrzeń Eberleina zawiera gęstą podprzestrzeń metryzowalną.
- Liczba Suslina przestrzeni Eberleina jest równa jej wadze.
- Nie istnieje ograniczenie górne dla mocy przestrzeni Eberleina - dla każdej liczby kardynalnej κ kula domknięta przestrzeni Hilberta ℓ2(κ) ze słabą topologią jest przestrzenią Eberleina.
- Produkt przeliczalnie wielu przestrzeni Eberleina jest przestrzenią Eberleina.
- Domknięta podprzestrzeń przestrzeni Eberleina jest przestrzenią Eberleina.
- Obraz poprzez funkcję ciągła przestrzeni Eberleina jest przestrzenią Eberleina (w klasie przestrzeni Hausdorffa)[2].
- Liniowo uporządkowane przestrzenie Eberleina są metryzowalne[3]
- Każda przestrzeń metryzowalna jest homeomorficzna z podprzestrzenią pewnej przestrzeni Eberleina.
- Każda przestrzeń Eberleina jest dziedzicznie σ-metazwarta[4]. Istvan Juhász, Zoltán Szentmiklóssy i Andrzej Szymański udowodnili, że własność ta charakteryzuje przestrzenie Eberleina w klasie przestrzeni o skończonym indeksie metryzowalności[5], to znaczy przestrzeni, które można przedstawić w postaci sumy skończenie wielu swoich podprzestrzeni metryzowalnych.
- Przestrzeń zwarta Hausdorffa K jest przestrzenią Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń Banacha C(K) jest typu WCG, tj. zawiera liniowo gęsty zbiór słabo zwarty[6].
- Jeżeli K jest przestrzenią Eberleina to przestrzeń Banacha C(K) jest przestrzenią Lindelöfa w słabej topologii. Pol wykazał, że przeciwna implikacja nie zachodzi[7], rozwiązując tym problem Corsona[8].
Przykłady edytuj
- Każda zwarta przestrzeń metryzowalna jest przestrzenią Eberleina.
- Uzwarcenie Aleksandrowa (jednopunktowe) przestrzeni dyskretnej jest przestrzenią Eberleina.
- Podwojony okrąg Aleksandrowa jest przestrzenią Eberleina.
- Kostka Hilberta [0,1]ω i kostka Cantora {0,1}ω są przestrzeniami Eberleina. Kostki [0,1]κ i {0,1}κ dla κ > ω nie są przestrzeniami Eberlaina ponieważ ich liczby Suslina są nieprzeliczalne.
- Kula domknięta przestrzeni refleksywnej ze słabą topologią jest przestrzenią Eberleina.
- Liczba porządkowa ω1 = [0, ω1] z topologią porządkową nie jest przestrzenią Eberleina.
- Każda rozproszona przestrzeń Corsona jest przestrzenią Eberleina[9].
Przypisy edytuj
- ↑ E. Michael, M.E. Rudin, Another note on Eberlein compacts, Pacific Journal of Mathematics. 72, 2 (1977), ss. 497-499
- ↑ Y. Benyamini, M.E. Rudin, M. Wage, Continuous images of weakly compact subsets of Banach spaces, Pacific J. Math. 70 (1977), ss. 309–324
- ↑ H.R. Bennett, D.J. Lutzer, J.M. van Wouwe, Linearly ordered Eberlein compact spaces, Topology and its Applications, 12, Issue 1, (1981), 11–18.
- ↑ N. Yakovlev, On bicompacta in Σ-products and related spaces, Comment. Math. Univ. Carolin. 21, 2 (1980), ss. 263-283
- ↑ I. Juhász, Z. Szentmiklóssy, A. Szymański, Eberlein spaces of finite metrizability number, Comment. Math. Univ.Carolin. 48, 2 (2007) ss. 291-301
- ↑ J. Lindenstrauss, Weakly compact sets-their topological properties and the Banach spaces they generate, Ann. Math. Stud., Vol. 69, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ (1972), 235-273.
- ↑ R. Pol, A function space C(X) which is weakly Lindelöf but not weakly compactly generated, Studia Math. 64 (1979), 279-285.
- ↑ H. Corson, The weak topology of a Banach space, Trans. Amer. Math. Soc., 101 (1961), 1-15.
- ↑ K. Alster, Some remarks on Eberlein compacts, Fund. Math. 104 (1979), 43-46.
Bibliografia edytuj
- A.V. Arhangel'ski, Eberlein Compacta, In: K.P. Hart, Jun-iti Nagata, and J.E. Vaughan, Encyclopedia of General Topology, Elsevier Science (August 16, 2004), ISBN 0-444-50355-2