określa normę w przestrzeni Przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa to uzupełnienie przestrzeni unormowanej Powyższa definicja zależy od wyboru rodziny jednak niezależenie od doboru przestrzeń nie będzie WCG w przeciwieństwie do przestrzeni sprzężonej Rzeczywiście, przestrzeń jest (izometryczna z) podprzestrzenią Niech będzie dany wzorem (1). Wówczas
Ponieważ każde dwa zbiory mają skończoną część wspólną, istnieje taki element o skończonym nośniku (czyli ), że
czyli norma ilorazowa klasy abstrakcji w wynosi
Przechodząc do elementów w uzupełnieniu można wywnioskować, że
Dla każdej liczby naturalnej funkcjonał określony wzorem
jest liniowy i ciągły. Ponadto, zbiór jest liniowo gęsty w czyli *-słaba topologia w jest ośrodkowa. Ośrodkowość w *-słabej topologii wynika również z faktu, że operatorinkluzji jest ciągły oraz operator sprzężony jest ciągły względem *-słabych topologii[2]. Istotnie, jest obrazem poprzez przestrzeni która jest ośrodkowa w *-słabej topologii (z twierdzenia Goldstine’a wynika, że jest *-słabo gęste w z ośrodkowości wynika ośrodkowość w *-słabej topologii). W szczególności, każdy zbiór słabo zwarty w jest ośrodkowy. Oznacza to, że nie jest WCG, gdyż jest nieośrodkowa ponieważ zawiera nieprzeliczalnyzbiór dyskretny (na przykład, rodzina funkcji charakterystycznych zbiorów z rodziny ℬ jest nieprzeliczalnym zbiorem dyskretnym).
Istnieje izomorfizm
(2)
Rzeczywiście, niech
będzie krótkim ciągiem dokładnym, w którym jest operatorem inkluzji oraz jest przektszałceniem ilorazowym na Ciąg dualny
jest również dokładny. Ponieważ jest projektywną przestrzenią Banacha, ciąg ten się rozszczepia, tzn. zachodzi wzór (2). Przestrzeń jako suma dwóch przestrzeni WCG (przestrzeń ośrodkowej i przestrzeni refleksywnej), jest WCG.