Własność Radona-Nikodýma

Własność Radona-Nikodýma – własność przestrzeni Banacha, która pozwala na rozszerzenie klasycznego twierdzenia Radona-Nikodýma na miary wektorowe o wartościach w danej przestrzeni. Klasa przestrzeni Banacha mających własność Radona-Nikodýma pozwala na przeniesienie klasycznych twierdzeń dotyczących różniczkowania (jak, na przykład, twierdzenie Rademachera) na funkcje o wartościach wektorowych.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Przestrzeń $X$ ma własność Radona-Nikodýma względem przestrzeni z miarą ($\Omega ,$ $\mu$), gdy dla każdej miary wektorowej $\nu$ o ograniczonym wahaniu, która jest bezwzględnie ciągła względem $\mu$ istnieje taka funkcja

$g\colon \Omega \to X$

całkowalna w sensie Bochnera (nazywana pochodną Radona-Nikodýma miary $\nu$), że

$\nu (A)=\int \limits _{A}g(\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )$

dla każdego $\mu$-mierzalnego zbioru $A.$ Przestrzeń Banacha ma własność Radona-Nikodýma, gdy ma własność Radona-Nikodýma względem każdej przestrzeni z miarą probabilistyczną.

Własność Radona-Nikodýma przestrzeni ℓ₁

Niech ($\Omega ,$ $\mu$) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech $\nu$ będzie miarą wektorową o wartościach w przestrzeni ℓ₁, która jest bezwzględnie ciągła względem $\mu ,$ tj. dla wszelkich zbiorów $\mu$-mierzalnych $A$ zachodzi warunek

$\|\nu (A)\|\leqslant \mu (A).$

Ponieważ elementami przestrzeni ℓ₁ są ciągi, można zapisać

$\nu (A)={\big (}\nu _{1}(A),\nu _{2}(A),\nu _{3}(A),\dots {\big )}.$

Każda z miar skalarnych $\nu _{i}$ jest bezwzględnie ciągła względem $\mu ,$ więc w przypadku każdej z nich stosuje się twierdzenie Radona-Nikodýma, tj. istnieją funkcje całkowalne

$g_{i}\colon \Omega \to \mathbb {C}$

o tej własności, że

$\nu _{i}(A)=\int \limits _{A}g_{i}(\omega )\mu (\mathrm {d} \omega ).$

Funkcja

$g(\omega )={\big (}g_{1}(\omega ),g_{2}(\omega ),\dots {\big )}$

przyjmuje wartości w ℓ₁ dla prawie wszystkich $\omega$ oraz jest pochodną Radona-Nikodýma $\nu .$

Charakteryzacja przez funkcje lipschitzowskie

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Wówczas ma ona własność Radona-Nikodýma wtedy i tylko wtedy, gdy każda funkcja lipschitzowska

$f\colon [0,1]\to X$

jest różniczkowalna prawie wszędzie.

$L_{1}$ nie ma własności Radona-Nikodýma

Używając powyższej charakteryzacji można wykazać, że przestrzeń $L_{1}[0,1]$ nie ma własności Radona-Nikodýma. Istotnie, funkcja

$f\colon [0,1]\to L_{1}[0,1]$

dana wzorem

$f(t)={\mathsf {1}}_{[0,t]}\quad (t\in [0,1])$

spełnia warunek Lipschitza, ponieważ jest izometrią. Dla

$0\leqslant s<t<1$

wyrażenie

${\frac {f(t)-f(s)}{t-s}}={\frac {{\mathsf {1}}_{(s,t]}}{t-s}}$

ma normę 1, a więc nie jest zbieżne do 0 przy żadnym ustalonym $s$ oraz $t\to s$.

Twierdzenie Lindenstraussa

Joram Lindenstrauss udowodnił, że każdy niepusty, domknięty i wypukły podzbiór przestrzeni mającej własność Radona-Nikodýma ma punkt ekstremalny.

Przykłady

Wszystkie wymienione niżej klasy przestrzeni Banacha mają własność Radona-Nikodýma:

• przestrzenie refleksywne,
• przestrzenie ośrodkowe będące przestrzeniami sprzężonymi; ogólniej, podprzestrzenie przestrzeni WCG będące przestrzeniami sprzężonymi pewnych przestrzeni,
• przestrzenie lokalnie jednostajnie wypukłe będące przestrzeniami sprzężonymi,
• przestrzenie słabo lokalnie jednostajnie wypukłe będące przestrzeniami sprzężonymi pewnych przestrzeni,
• przestrzenie sprzężone przestrzeni, w których norma jest funkcją różniczkowalną w sensie Frécheta,
• przestrzeń $\ell _{1}(\Gamma ),$ gdzie $\Gamma$ jest dowolnym zbiorem,
• przestrzenie Hardy’ego,
• przestrzeń szeregów bezwarunkowo zbieżnych w $X$ dla przestrzeni $X$ mających własność Radona-Nikodýma,
• przestrzeń $L_{p}(\mu ,X),$ gdy $X$ ma własność Radona-Nikodýma.

Wymienione niżej przestrzenie nie mają własności Radona-Nikodýma:

• przestrzenie $c,c_{0},\ell _{\infty },L_{\infty }([0,1]),$
• przestrzenie operatorów zwartych i przestrzenie operatorów liniowych i ciągłych na $X,$ gdy $X=L_{p}$ lub $X=c_{0}.$

Bibliografia

• Joseph Diestel, John Jerry (Jr.) Uhl: Vector Measures. Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
• G.A. Edgar, Louis Sucheston: Stopping Times and Directed Processes. Cambridge: Cambridge University Press, 1992, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications (47).
• David Preiss, Joram Lindenstrauss, Jaroslav Tišer: Frechet Differentiability of Lipschitz Functions and Porous Sets in Banach Spaces. Princeton University Press, 2012, seria: Annals of Mathematics Studies.