Równania Maxwella we współrzędnych krzywoliniowych

Równania Maxwella we współrzędnych krzywoliniowych – równania Maxwella zapisane w układzie współrzędnych krzywoliniowych. Równania te opisują dynamikę pola elektromagnetycznego oraz cząstek materii poddanych oddziaływaniom tych pól. Mają szczególne zastosowanie w zakrzywionej czasoprzestrzeni, gdzie metryka w ogólności różni się od metryki płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego (zmiana metryki czasoprzestrzeni według ogólnej teorii względności powstaje na skutek obecności materii i energii, i tym tłumaczy pojawianie się pola grawitacyjnego).

Symulacja komputerowa układu GW150914 dwóch czarnych dziur widziana przez pobliskiego obserwatora podczas ostatnich 0,33 s przed ich połączeniem. Światło idące od gwiazd znajdujących się za czarnymi dziurami jest mocno zniekształcane na skutek ekstremalnie silnego efektu soczewkowania grawitacyjnego i zniekształcania czasoprzestrzeni, która jest ciągnięta wokół obracających się czarnych dziur: dlatego gwiazdy zdają się poruszać i obracać[1].
Pokaz, w jaki sposób światło z odległej galaktyki jest zakrzywiane na skutek grawitacyjnego zniekształcenia czasoprzestrzeni przez inną galaktykę, która działa jak soczewka i tworzy zamiast punktu okrąg świetlny, zwany pierścieniem Einsteina.

W zakrzywionej czasoprzestrzeni tory cząstek masowych są liniami geodezyjnymi, innymi niż tory prostoliniowe. Obecność pola elektromagnetycznego dodatkowo zmienia te tory.

Także promienie świetlne poruszają się nie po prostych euklidesowych – jak to jest w płaskiej czasoprzestrzeni – ale po tzw. liniach geodezyjnych zerowych. W silnych polach grawitacyjnych (np. w pobliżu czarnych dziur) lub po przejściu światłą na wielkich dystansach w oddziaływaniu np. z galaktykami występuje efekt zakrzywiania biegu (tzw. soczewkowanie grawitacyjne).

Równania te są uogólnieniem równań Maxwella w próżni, które zazwyczaj są formułowane w lokalnych układach współrzędnych w płaskiej czasoprzestrzeni. Jednakże ogólna teoria względności wskazuje, iż obecność pola elektromagnetycznego (lub energii i materii w ogólności) powoduje zmianę metryk, równania Maxwella w płaskiej czasoprzestrzeni powinny być rozumiane jako przybliżenie.

W opisie zjawisk elektromagnetycznych w obecności materii zazwyczaj odróżnia się ładunki związane i swobodne. Bez tego odróżnienia równania Maxwella w próżni nazywa się „mikroskopowymi”, a gdy robi się to odróżnienie, to równania te nazywa się „makroskopowymi”.

Równania Maxwella są niezmiennicze, tzn. ich postać nie zależy od tensora metrycznego, a więc są identyczne w płaskiej czasoprzestrzeni (opisanej tensorem metrycznym Minkowskiego), jak i zakrzywionej czasoprzestrzeni (np. w pobliżu masywnego obiektu, gdzie obowiązuje metryka Schwarzschilda), jak również nie zależą od przyjętego układu współrzędnych krzywoliniowych (np. część przestrzenną czasoprzestrzeni można przedstawić zarówno we współrzędnych prostokątnych, czyli kartezjańskich, sferycznych, jak i dowolnych współrzędnych krzywoliniowych).

Z powyższych względów równania Maxwella w czasoprzestrzeni Minkowskiego trzeba rozumieć jako szczególny przypadek równań podanych dla współrzędnych krzywoliniowych.

Tensor pola elektromagnetycznegoEdytuj

Równania pola elektromagnetycznego zapisane w szczególnej teorii względności łatwo uogólnić tak, by były słuszne w dowolnym czterowymiarowym układzie współrzędnych, a więc z dowolnym tensorem metrycznym – ogólność ta obejmuje zarówno zapis równań w dowolnych współrzędnych krzywoliniowych, jak i w przypadku, gdy występuje pole grawitacyjne.

Tensor pola elektromagnetycznego w szczególnej teorii względności jest równy

 

gdzie   jest czteropotencjałem pola elektromagnetycznego. Zgodnie z ogólną zasadą przy przejściu ze współrzędnych kartezjańskich do krzywoliniowych pochodne cząstkowe przechodzą na pochodne kowariantne; stąd mamy  

Jednak człony zawierające symbole Christoffela kasują się i otrzymuje się wyrażenia identyczne jak we współrzędnych kartezjańskich, czyli

 

Pierwsza para równań MaxwellaEdytuj

W konsekwencji pierwsza para równań Maxwella nie zmienia postaci

 

Równanie to zawiera prawo indukcji Faradaya oraz prawo Gaussa dla elektromagnetyzmu. Wstawiając potencjały pole mamy

 

Czterowektor gęstości prąduEdytuj

Jeżeli w przestrzeni znajduje się pewien rozkład cząstek naładowanych, który można uśrednić i traktować jako ciągły, to można wprowadzić pojęcie czterowektora gęstości prądu w danym punkcie, związanego z poruszającymi się ładunkami[2]

 

gdzie   – relatywistyczna gęstość ładunku, przy czym:

  •   – gęstość ładunku nieruchomego w infinitezymalnym otoczeniu danego punktu,
  •  
  •   – prędkość ładunków względem obserwatora.

Druga para równań MaxwellaEdytuj

Druga para równań Maxwella ma w układzie kartezjańskim postać[3]

 

Przejście do współrzędnych krzywoliniowych wymaga jedynie zmiany pochodnych cząstkowych na pochodne kowariantne

 

Powyższe wyrażenie zawiera dywergencję we współrzędnych krzywoliniowych; tensor   jest antysymetryczny; dywergencja tensora antysymetrycznego ma postać (por. dywergencja kowariantna)[4]

 

gdzie:

  – moduł wyznacznika tensora metrycznego współrzędnych krzywoliniowych w danym punkcie.

Stąd druga para równań Maxwella przyjmuje postać

 

Równanie ruchu cząstkiEdytuj

(1) Równanie ruchu cząstki swobodnej w płaskiej czasoprzestrzeni: cząstka nie podlega oddziaływaniom i jej przyspieszenie jest zerowe, tj.[5]

 

gdzie  czteroprędkość cząstki,   – różniczkowy przyrost tzw. interwału czasoprzestrzennego mierzony wzdłuż trajektorii cząstki; równoważnie można zapisać, że różniczka 4-prędkości cząstki zeruje się, tj.

 

(2) Równanie ruchu cząstki swobodnej w zakrzywionej czasoprzestrzeni

Przechodząc do układu współrzędnych krzywoliniowych równanie ruchu cząstki nie podlegającej oddziaływaniom należy zmodyfikować zamieniając różniczkę zupełną na różniczkę absolutną, tj.[5]

 

Różniczka absolutna wektora kowariantnego dana jest zależnością

 

lub

 

gdzie:

  – różniczka 4-prędkości cząstki.

Stąd mamy równanie ruchu cząstki w układzie krzywoliniowym

 

Dzieląc przez   i uwzględniając, że   znajdujemy

 

Jest to równanie linii geodezyjnej w przestrzeni z metryką   (od której zależą m.in. symbole Christoffela  ). Przy tym, jeżeli przestrzeń jest pozbawiona źródeł pola grawitacyjnego, to symbole Christoffela   są takie, że zerują tensor krzywizny i równania geodezyjnych sprowadzają się do prostych euklidesowych; jeżeli jednak przestrzeń jest zakrzywiona na skutek obecności materii, to tensor krzywizny jest niezerowy, a geodezyjne są inne niż proste euklidesowe.

(3) Równanie ruchu cząstki w płaskiej czasoprzestrzeni w polu elektromagnetycznym

Cząstka podlega oddziaływaniom z polem elektromagnetycznym i jej przyspieszenie jest zerowe, tj.[6]

 

(4) Równanie ruchu cząstki w zakrzywionej czasoprzestrzeni w polu elektromagnetycznym

Zmieniamy pochodną zupełną   na pochodną absolutną  [7]

 

czyli

 

Jest to równanie na trajektorię cząstki o ładunku   masie   poruszającej się w polu elektromagnetycznym   i w polu grawitacyjnym zadanym metryką   (od której zależą m.in. symbole Christoffela  ). Gdyby pole elektromagnetyczne było zerowe lub bardzo słabe, to cząstka poruszałaby się po linii geodezyjnej właściwej dla zakrzywionej czasoprzestrzeni. Obecność pola modyfikuje ten tor.

Zobacz teżEdytuj

Wiadomości z matematyki

PrzypisyEdytuj

  1. Black-holes.org: GW150914: LIGO Detects Gravitational Waves. [dostęp 2016-04-18].
  2. Landau 2009 ↓, s. 98.
  3. Landau 2009 ↓, s. 102.
  4. Landau 2009 ↓, s. 296.
  5. a b Landau 2009 ↓, s. 297.
  6. Landau 2009 ↓, s. 87.
  7. Landau 2009 ↓, s. 311.

BibliografiaEdytuj

  • L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola. Warszawa: PWN, 2009.