Zasada Cavalieriego

Zasada Cavalieriego – metoda obliczania objętości brył przestrzennych, odkryta przez Archimedesa i opisana ponownie przez XVII-wiecznego matematyka włoskiego, Bonaventurę Cavalieriego. Obecnie uogólniona na wielowymiarową miarę Lebesgue’a oraz abstrakcyjne przestrzenie z miarą produktową. Zasada Cavalieriego, w swoim oryginalnym sformułowaniu, mówi że:

Fragmenty pracy Cavalieriego Geometria indivisibilibus quadam ratione promota

Jeśli dwie bryły mają tę własność, że ich przekroje wszystkimi płaszczyznami równoległymi do jednej, z góry ustalonej płaszczyzny, mają te same pola, to te bryły mają równe objętości.

Twierdzenie to zwykle wystarcza do obliczania objętości znanych brył, jak np. stożek czy elipsoida, jednak może być w naturalny sposób uogólnione na język współczesnej matematyki.

Wstępne definicje

Niech $N,N_{1},N_{2}$ będą takimi liczbami naturalnymi, że $N=N_{1}+N_{2}.$ Wówczas można dokonać utożsamienia:

$\mathbb {R} ^{N}=\mathbb {R} ^{N_{1}}\times \mathbb {R} ^{N_{2}}.$

Niech $A\subseteq \mathbb {R} ^{N},\,x_{1}\in \mathbb {R} ^{N_{1}},\,x_{2}\in \mathbb {R} ^{N_{2}}$ oraz $x=(x_{1},x_{2})$ oznacza element przestrzeni $\mathbb {R} ^{N}.$ Zbiory

• $A_{x_{1}}=\{x_{2}\in \mathbb {R} ^{N_{2}}\colon \,(x_{1},x_{2})\in A\},$
• $A^{x_{2}}=\{x_{1}\in \mathbb {R} ^{N_{1}}\colon \,(x_{1},x_{2})\in A\}$

nazywane są, odpowiednio, cięciem górnym (wzdłuż punktu $x_{1})$) i cięciem dolnym (wzdłuż punktu $x_{2}$) zbioru $A.$

Niech ponadto

• $\pi _{1}(A)=\{x_{1}\in \mathbb {R} ^{N_{1}}\colon \,(\exists x_{2}\in \mathbb {R} ^{N_{2}})(x_{1},x_{2})\in A\},$
• $\pi _{2}(A)=\{x_{2}\in \mathbb {R} ^{N_{2}}\colon \,(\exists x_{1}\in \mathbb {R} ^{N_{1}})(x_{1},x_{2})\in A\},$

tzn. $\pi _{1}(A),\pi _{2}(A)$ są rzutowaniami zbioru $A$ na przestrzenie, odpowiednio, $\mathbb {R} ^{N_{1}}$ i $\mathbb {R} ^{N_{2}}.$ Symbolami ${\mathcal {L}}_{N},{\mathcal {L}}_{N_{1}},{\mathcal {L}}_{N_{2}}$ oznaczane tu będą σ-ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a względem, odpowiednio, $N{\text{-}},$ $N_{1}{\text{-}}$ i $N_{2}$-wymiarowej miary Lebesgue’a $l_{N},l_{N_{1}},l_{N_{2}}.$

Zasada Cavalieriego

Jeśli $A\in {\mathcal {L}}_{N},$ to

• dla prawie wszystkich $x_{1}\in \mathbb {R} ^{N_{1}}$ zbiór $A_{x_{1}}$ jest mierzalny w sensie $N_{2}$-wymiarowej miary Lebesgue’a,
• funkcja $x_{1}\mapsto l_{2}(A_{x_{1}})$ jest mierzalna,
• $l_{N}(A)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{N_{1}}}l_{N_{2}}(A_{x_{1}})dl_{N_{1}}(x_{1}).$

Jeżeli ponadto, $\pi _{1}(A)\in {\mathcal {L}}_{N_{1}},$ to

$l_{N}(A)=\int \limits _{\pi _{1}(A)}l_{N_{2}}(A_{x_{1}})dl_{N_{1}}(x_{1}).$

Komentarze

• Cięcia $A_{x_{1}},A^{x_{2}}$ są mierzalne dla prawie wszystkich $x_{1}\in \mathbb {R} ^{N_{1}},x_{2}\in \mathbb {R} ^{N_{2}}.$ Jest to konsekwencją faktu, iż σ-ciało produktowe ${\mathcal {L}}_{N_{1}}\otimes {\mathcal {L}}_{N_{2}}$ jest zawarte w sposób właściwy w ${\mathcal {L}}_{N},$ tzn. istnieją takie zbiory postaci $A\times B\in {\mathcal {L}}_{N},$ gdzie $A\subseteq \mathbb {R} ^{N_{1}},B\subseteq \mathbb {R} ^{N_{2}},$ że zbiór $A$ lub zbiór $B$ nie jest mierzalny względem odpowiedniego σ-ciała.

• Zasadę Cavalieriego używa się często do dowodu twierdzenia Fubiniego – z drugiej strony, jeżeli dowód twierdzenia Fubiniego prowadzony jest bez jej to użycia, to wtedy można uznać ją za wniosek tego twierdzenia.

Zobacz też

• twierdzenie Fubiniego
• twierdzenie Guldina

Bibliografia

• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.brak strony w książce
• Krzysztof Maurin: Analiza. Część I. Elementy. Warszawa: PWN, 1976.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Zasada Cavalieriego, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, styczeń 2012, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19]  (pol.).