Rozkład Voigta

Rozkład Voigta (profil Voigta) – rozkład prawdopodobieństwa otrzymywany przez splot rozkładu Cauchy’ego-Lorentza i rozkładu Gaussa. Jest często stosowany w analizie danych w spektroskopii i dyfrakcji. Rozkład nazwano na cześć Woldemara Voigta.

(wyśrodkowany) rozkład Voigta

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$\gamma ,\sigma >0$
Nośnik	$\mathbb {R}$
Gęstość prawdopodobieństwa	złożona
Dystrybuanta	złożona
Wartość oczekiwana (średnia)	nieokreślona
Mediana	$0$
Moda	$0$
Wariancja	nieokreślona
Współczynnik skośności	nieokreślona
Kurtoza	nieokreślona
Funkcja tworząca momenty	nieokreślona
Funkcja charakterystyczna	$e^{-\gamma |t|-\sigma ^{2}t^{2}/2}$

Definicja

Bez straty ogólności możemy rozważać pod uwagę tylko wycentrowane rozkłady, to jest takie, których punkt największej gęstości jest równy zeru. Rozkład Voigta powstaje w wyniku dodawania zmiennej losowej o rozkładzie Cauchy’ego i drugiej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym, obydwie o medianie zero. Wynika z tego, że gęstość rozkładu Voigta jest splotem gęstości tych rozkładów:

$V_{\sigma ,\gamma }(x)=\int _{-\infty }^{\infty }G_{\sigma }(y)L_{\gamma }(x-y)\,dy,$

gdzie $\sigma ,\gamma$ są parametrami rozkładu Voigta i jednocześnie odpowiednio pierwiastkiem z wariancji rozkładu normalnego oraz czynnikiem skali rozkładu Cauchy’ego. Funkcja $G_{\sigma }$ to gęstość rozkładu normalnego o średniej zero:

$G_{\sigma }(x)={\frac {e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},$

a $L_{\gamma }$ jest wyśrodkowanym rozkładem Cauchy’ego-Lorentza:

$L_{\gamma }(x)={\frac {\gamma }{\pi (x^{2}+\gamma ^{2})}}$.

W przypadkach granicznych $\sigma =0$ i $\gamma =0$ następnie $V_{\sigma ,\gamma }$ upraszcza do odpowiednio $L_{\gamma }$ i $G_{\sigma }.$

Zastosowania

W spektroskopii rozkład Voigta wynika ze splotu dwóch mechanizmów poszerzających linie widmowe, z których jeden ma rozkład normalny (zwykle jest to poszerzenie dopplerowskie), a drugi ma rozkład Lorentza (naturalne poszerzenie widma). Z tego powodu profile Voigta są powszechne w wielu gałęziach spektroskopii i dyfrakcji.