Rozkład hipergeometryczny

Rozkład hipergeometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa związany z tzw. schematem urnowym.

Rozkład hipergeometryczny

Parametry	${\begin{aligned}N&\in 0,1,2,\dots \\m&\in 0,1,2,\dots ,N\\n&\in 0,1,2,\dots ,N\end{aligned}}$
Nośnik	$k\,\in \,\max {(0,\,n+m-N)},\,\dots ,\,\min {(m,\,n)}$
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	${\frac {{m \choose k}{N-m \choose n-k}}{N \choose n}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\frac {nm}{N}}$
Moda	$\left\lfloor {\frac {(n+1)(m+1)}{N+2}}\right\rfloor$
Wariancja	$n(m/N)(1-m/N)(N-n)/(N-1)$
Współczynnik skośności	${\frac {(N-2m)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
Kurtoza	$\left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]$ $\cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}}\right.$ $+\left.{\frac {3n(N-n)(N+6)}{N^{2}}}-6\right]$
Funkcja tworząca momenty	${\frac {{N-m \choose n}\ _{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{t})}{N \choose n}}$
Funkcja charakterystyczna	${\frac {{N-m \choose n}\ _{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{it})}{N \choose n}}$

Zmienna losowa o tym rozkładzie określa prawdopodobieństwo uzyskania $k$ sukcesów ($k$-krotnego wylosowania obiektu mającego określoną cechę) w $n$-elementowej próbie, czyli $n$ pojedynczych próbkowaniach bez zwracania z populacji o skończonej wielkości $N$, w której znajduje się dokładnie $m$ obiektów mających tę cechę. W każdym pojedynczym próbkowaniu może nastąpić albo sukces, albo porażka.

Niekiedy spotyka się inny sposób sformułowania, np. zamiast $N$ (wielkości całej populacji) parametrem jest $N-m$ (liczba obiektów niemających określonej cechy w populacji).

Funkcja masy prawdopodobieństwa

Zmienna losowa $X$ ma rozkład hipergeometryczny, gdy funkcja masy prawdopodobieństwa (pmf) jest dana wzorem

$p_{X}(k)=\mathbb {P} (X=k)={\frac {{\binom {m}{k}}{\binom {N-m}{n-k}}}{\binom {N}{n}}},$

gdzie

• $N$ to wielkość populacji,
• $m$ to liczba sukcesów (obiektów, które mają określoną cechę) w tej populacji,
• $n$ to liczba pojedynczych losowań (wielkość pobieranej próbki),
• $k$ to liczba sukcesów zaobserwowanych w próbce,
• ${\textstyle \textstyle {a \choose b}}$ to symbol Newtona.

Wzór ten stosuje się dla k, takich że$\max(0,n+m-N)\leq k\leq \min(m,n)$. Poza tym przedziałem prawdopodobieństwa $p_{X}(k)$ wynoszą zero.

Przykład

W grze Lotto uczestnik kupuje zakład, w ramach którego typuje, które z 49 liczb zostaną wylosowane w losowaniu odbywającym się w określonym terminie. W pojedynczym losowaniu losuje się 6 liczb. W pojedynczym zakładzie uczestnik typuje również 6 liczb. Zmienna $X$ określająca, ile z wytypowanych w tym zakładzie liczb zostanie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami $N=49$, $m=6$, $n=6$. Prawdopodobieństwo prawidłowego wytypowania wszystkich sześciu liczb (trafienia szóstki) wynosi więc:

$p_{X}(6)=\mathbb {P} (X=6)={\frac {{\binom {6}{6}}{\binom {49-6}{6-6}}}{\binom {49}{6}}}={\frac {1}{13983816}}\approx 0{,}0000000715,$

zaś prawdopodobieństwo uzyskania trójki (prawidłowego wytypowania dokładnie trzech liczb) wynosi:

$p_{X}(3)=\mathbb {P} (X=3)={\frac {{\binom {6}{3}}{\binom {49-3}{6-3}}}{\binom {49}{6}}}={\frac {246820}{13983816}}\approx 0{,}0177.$

Jeżeli uczestnik gra systemem i typuje 8 liczb (co jest równoważne z zakupem odpowiedniej liczby powiązanych zakładów), zmienna $Y$ określająca, ile z wytypowanych liczb będzie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami $N=49$, $m=8$, $n=6$. W takiej sytuacji prawdopodobieństwo uzyskania szóstki wynosi:

$p_{Y}(k)=\mathbb {P} (Y=k)={\frac {{\binom {8}{6}}{\binom {49-8}{6-6}}}{\binom {49}{6}}}\approx 0{,}0000020023$

Zobacz też

• rozkład geometryczny