Równanie falowe – matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące ruch falowy .
Ogólną postacią równania falowego jest:
{
∂
2
∂
t
2
u
−
c
2
⋅
△
x
u
=
0
,
u
:
R
n
×
R
+
→
R
,
x
∈
R
n
,
t
∈
R
+
u
(
x
,
0
)
=
f
(
x
)
,
f
:
R
n
→
R
∂
∂
t
u
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
,
g
:
R
n
→
R
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} ,x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} _{+}\\[2pt]u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \end{cases}}}
gdzie
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}
zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych.
W równaniu funkcja
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle u(x,t)}
niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie
x
{\displaystyle x}
t
.
{\displaystyle t.}
f
{\displaystyle f}
g
.
{\displaystyle g.}
c
{\displaystyle c}
△
x
{\displaystyle \triangle _{x}}
laplasjan .
Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d’Alemberta :
◻
u
(
x
,
t
)
=
0.
{\displaystyle \square u(x,t)=0.}
Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki
n
=
1
,
2
,
3.
{\displaystyle n=1,2,3.}
Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej , gdyż opisuje falę de Broglie’a :
e
i
(
E
t
−
r
→
∘
p
→
)
/
ℏ
.
{\displaystyle e^{i(Et-{\vec {r}}\circ {\vec {p}})/\hbar }.}
Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella .
edytuj
edytuj
Jednowymiarowe
(
n
=
1
)
{\displaystyle (n=1)}
fali płaskiej . Ma ono postać:
{
∂
2
∂
t
2
u
−
c
2
⋅
△
x
u
=
0
,
u
:
R
×
R
+
→
R
u
(
x
,
0
)
=
f
(
x
)
,
f
:
R
→
R
∂
∂
t
u
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
,
g
:
R
→
R
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} \\u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \end{cases}}}
Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:
u
(
x
,
t
)
=
α
(
x
−
c
t
)
+
β
(
x
+
c
t
)
,
{\displaystyle u(x,t)=\alpha (x-ct)+\beta (x+ct),}
gdzie
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
Przy założeniu regularności
f
∈
C
2
(
R
)
,
g
∈
C
1
(
R
)
{\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} ),g\in C^{1}(\mathbb {R} )}
u
(
x
,
t
)
=
f
(
x
+
c
t
)
+
f
(
x
−
c
t
)
2
+
1
2
c
∫
x
−
c
t
x
+
c
t
g
(
z
)
d
z
.
{\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x+ct)+f(x-ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}{g(z)\mathrm {d} z}.}
Jest to wzór d’Alemberta . Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione .
edytuj
Struna półnieskończona to jednowymiarowa struna przymocowana na stałe z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego:
u
(
0
,
t
)
=
0
{\displaystyle u(0,t)=0}
t
∈
R
.
{\displaystyle t\in \mathbb {R} .}
Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest:
{
u
(
x
,
t
)
=
f
(
x
+
c
t
)
+
f
(
x
−
c
t
)
2
+
1
2
c
∫
x
−
c
t
x
+
c
t
g
(
z
)
d
z
,
x
⩾
c
t
u
(
x
,
t
)
=
f
(
x
+
c
t
)
−
f
(
c
t
−
x
)
2
+
1
2
c
∫
c
t
−
x
c
t
+
x
g
(
z
)
d
z
,
x
<
c
t
{\displaystyle {\begin{cases}u(x,t)={\frac {f(x+ct)+f(x-ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}{g(z)\mathrm {d} z},&x\geqslant {}ct\\[2pt]u(x,t)={\frac {f(x+ct)-f(ct-x)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{ct-x}^{ct+x}{g(z)\mathrm {d} z},&x<ct\end{cases}}}
edytuj
Równanie falowe dla
n
=
3
{\displaystyle n=3}
{
∂
2
∂
t
2
u
−
c
2
⋅
△
x
u
=
0
,
u
:
R
3
×
R
+
→
R
u
(
x
,
0
)
=
f
(
x
)
,
f
:
R
3
→
R
∂
∂
t
u
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
,
g
:
R
3
→
R
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} \\u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \end{cases}}}
Rozwiązanie równania można wyprowadzić za pomocą średnich sferycznych . Przy założeniu regularności
f
∈
C
3
(
R
3
)
,
g
∈
C
2
(
R
3
)
{\displaystyle f\in {}C^{3}(\mathbb {R} ^{3}),g\in {}C^{2}(\mathbb {R} ^{3})}
4
π
c
2
⋅
u
(
x
,
t
)
=
∂
∂
t
(
1
t
∫
S
2
(
x
,
c
t
)
f
(
z
)
d
σ
(
z
)
)
+
1
t
∫
S
2
(
x
,
c
t
)
g
(
z
)
d
σ
(
z
)
.
{\displaystyle 4\pi {}c^{2}{}\cdot {}u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{t}}\int \limits _{S^{2}(x,ct)}{f(z)\mathrm {d} \sigma (z)}\right)+{\frac {1}{t}}\int \limits _{S^{2}(x,ct)}{g(z)\mathrm {d} \sigma (z)}.}
Jest to wzór Kirchhoffa .
edytuj
Równanie falowe dla
n
=
2
{\displaystyle n=2}
metodą spadku . Przy założeniu regularności
f
∈
C
3
(
R
3
)
,
g
∈
C
2
(
R
3
)
{\displaystyle f\in {}C^{3}(\mathbb {R} ^{3}),g\in {}C^{2}(\mathbb {R} ^{3})}
2
π
c
⋅
u
(
x
,
t
)
=
∂
∂
t
(
∫
D
(
x
,
c
t
)
f
(
z
)
d
σ
(
z
)
c
2
t
2
−
|
z
−
x
|
2
)
+
∫
D
(
x
,
c
t
)
g
(
z
)
d
σ
(
z
)
c
2
t
2
−
|
z
−
x
|
2
.
{\displaystyle 2\pi {}c\cdot u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\int \limits _{D(x,ct)}{\frac {f(z)\mathrm {d} \sigma (z)}{\sqrt {c^{2}{}t^{2}-|z-x|^{2}}}}\right)+\int \limits _{D(x,ct)}{\frac {g(z)\mathrm {d} \sigma (z)}{\sqrt {c^{2}t^{2}-|z-x|^{2}}}}.}
edytuj
Niejednorodne równanie falowe to równanie postaci:
{
∂
2
∂
t
2
u
−
c
2
⋅
△
x
u
=
h
(
x
,
t
)
,
u
:
R
n
×
R
+
→
R
,
x
∈
R
n
,
t
∈
R
+
u
(
x
,
0
)
=
0
,
∂
∂
t
u
(
x
,
0
)
=
0
,
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=h(x,t),&u:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} ,x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} _{+}\\[2pt]u(x,0)=0,\\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=0,\end{cases}}}
Równanie to można rozwiązać metodą całek Duhamela .
Wynikiem jest:
4
π
c
2
u
(
x
,
t
)
=
∫
0
c
t
d
r
∫
S
2
(
x
,
r
)
h
(
z
,
t
−
r
c
)
d
σ
(
z
)
.
{\displaystyle 4\pi {}c^{2}u(x,t)=\int \limits _{0}^{ct}{\mathrm {d} r\int \limits _{S^{2}(x,r)}{h\left(z,t-{\frac {r}{c}}\right)}\mathrm {d} \sigma (z)}.}
Zaburzenia fali rozchodzą się więc po 4-wymiarowym stożku
|
z
−
x
|
=
c
t
.
{\displaystyle |z-x|=ct.}
Zasada Huygensa opisuje pewną własność rozwiązania równania falowego, w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Podamy ją na przykładzie
n
=
3
{\displaystyle n=3}
n
=
2.
{\displaystyle n=2.}
Załóżmy, że funkcje f, g mają zwarte nośniki
K
⊆
R
n
.
{\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}
Niech
n
=
3.
{\displaystyle n=3.}
u
(
x
,
t
)
≠
0
{\displaystyle u(x,t)\neq {}0}
t
∈
[
t
1
,
t
2
]
.
{\displaystyle t\in {}[t_{1},t_{2}].}
Inaczej dzieje się dla
n
=
2.
{\displaystyle n=2.}
amplituda maleje jak
1
t
.
{\displaystyle {\frac {1}{t}}.}
edytuj
Równanie falowe opisuje fale zarówno wychodzące ze źródła (opóźnione), jak i wchodzące do źródła (przyspieszone). Mimo to obserwuje się tylko te pierwsze. Tę asymetrię nazywa się radiacyjną strzałką czasu . Najbardziej fundamentalną teorią, w której występuje równanie falowe i ten efekt, jest elektrodynamika klasyczna . Z tego względu mówi się też o elektromagnetycznej strzałce czasu[1]
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} ,x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} _{+}\\[2pt]u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f98a65f33f3f081a1098c688839a06ca92dcbec)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} \\u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d1cfe853daada8fe6097c5295f6b9c00f7f6c3)
![{\displaystyle {\begin{cases}u(x,t)={\frac {f(x+ct)+f(x-ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}{g(z)\mathrm {d} z},&x\geqslant {}ct\\[2pt]u(x,t)={\frac {f(x+ct)-f(ct-x)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{ct-x}^{ct+x}{g(z)\mathrm {d} z},&x<ct\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47ab28c35435d265c9095ce2ee89184e82f2178)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} \\u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a105b61b3322b6dc7f53ae62576a6c9a097f3b0d)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=h(x,t),&u:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} ,x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} _{+}\\[2pt]u(x,0)=0,\\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=0,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c56d99446005b254a5181ce7ff44b125c71e5c14)
![{\displaystyle t\in {}[t_{1},t_{2}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b839d566ee1e5dc8b558bc370bc50bad71ee007)
