Jeśli jest ciałem zbiorów oraz przestrzenią unormowaną, to funkcję spełniającą warunek
dla wszelkich rozłącznych zbiorów nazywamy miarą wektorową[1].
Jeśli jest σ-ciałem podzbiorów zbioru to funkcję nazywamy miarą wektorową przeliczalnie addytywną, gdy dla każdego ciągu zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała spełniony jest warunek:
Wahanie miary wektorowej jest addytywną funkcją zbiorów. Wahanie miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest miarą.
Półwahanie miary wektorowej jest funkcją podaddytywną i monotoniczną funkcją zbiorów.
Jeżeli jest miarą wektorową, to
Miara wektorowa o ograniczonym wahaniu jest przeliczalnie addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wahanie jest przeliczalnie addytywne.
Niech (σ-ciało generowane przez ciało porównaj: definicję). Jeśli jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową o ograniczonym wahaniu, to dla każdego zachodzi równość:
Jeżeli wahanie miary wektorowej jest miarą skończoną, to jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną.
Zbiór wartości miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest ograniczony.
Miara wektorowa przeliczalnie addytywna.
Niech będzie ciągłym operatorem liniowym. Funkcja dana wzorem jak w powyższym przykładzie jest przeliczalnie addytywna. Ponadto można wykazać, że dla każdego
gdzie jest miarą Lebesgue’a.
Wówczas, także co dowodzi, że jest miarą wektorową o ograniczonym wahaniu.
Miara wektorowa o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.
Niech będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Funkcja dana wzorem
dla jest miara wektorową o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.
Miara wektorowa o nieograniczonym półwahaniu.
Niech Funkcja dana wzorem
jest miarą wektorową o nieograniczonym półwahaniu.
Wykazanie rzeczonych własności można znaleźć w[2].
↑Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002.brak strony w książce
↑Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 1–3.Sprawdź autora:1.