Term

Term (formuła nazwowa) – wyrażenie składające się ze zmiennych oraz symboli funkcyjnych o dowolnej argumentowości (w tym o argumentowości 0, czyli stałych) z pewnego ustalonego zbioru.

W wielu dziedzinach matematyki używa się określenia term na oznaczenie napisów (wyrażeń) formalnych, które mogą być traktowane jako nazwy na obiekty matematyczne. W większości przypadków znaczenie to można przedstawić jako termy w pewnym języku pierwszego rzędu, opisane poniżej.

Termy w logice matematycznej

Termy języków pierwszego rzędu

Niech $\tau$ będzie alfabetem języka pierwszego rzędu ${\mathcal {L}}(\tau ).$ Tak więc $\tau$ jest zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Język ${\mathcal {L}}(\tau )$ ma też ustaloną nieskończoną listę zmiennych (zwykle $x_{0},x_{1},\dots$).

Termy języka ${\mathcal {L}}(\tau )$ to elementy najmniejszego zbioru $\mathbf {T}$ takiego, że:

• wszystkie stałe i zmienne należą do $\mathbf {T}$
• jeśli $t_{1},\dots ,t_{n}\in \mathbf {T}$ i $f\in \tau$ jest $n$-arnym symbolem funkcyjnym, to $f(t_{1},\dots ,t_{n})\in \mathbf {T} .$

Przykłady

• Język teorii grup to ${\mathcal {L}}(\{*\})$ gdzie $*$ jest binarnym symbolem funkcyjnym. Przykładami termów tego języka są:

$x_{1}*x_{1},$ oraz $x_{1}*(x_{2}*(x_{1}*(x_{2}*x_{1}))),$ a także $(x_{1}*(x_{1}*(x_{1}*(x_{1}*x_{1}))))*(x_{1}*(x_{2}*(x_{1}*(x_{2}*x_{1}))))$

• Język ciał uporządkowanych to ${\mathcal {L}}(\{+,\cdot ,0,1,\leqslant \})$ gdzie $+,\cdot$ są binarnymi symbolami funkcyjnymi a $\leqslant$ jest binarnym symbolem relacyjnym. Przykładowe termy tego języka to

$1+(0+1),$   $(1+1)\cdot ((1+1)\cdot 1),$   $((x_{1}+x_{2})+0)\cdot x_{7}.$

Języki wyższych rzędów

W analogiczny sposób wprowadza się termy w językach wyższych rzędów, a także w bardziej skomplikowanych logikach.

Termy boole’owskie

W teorii forsingu rozważa się termy boole’owskie wprowadzane następująco. Niech $\mathbb {B} =(B,+,\cdot ,\sim ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )$ będzie zupełną algebrą Boole’a. Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych $\alpha$ definiujemy zbiory $\mathbf {V} _{\alpha }^{\mathbb {B} }$ złożone z termów boole’owskich rangi $\alpha$:

• $\mathbf {V} _{0}^{\mathbb {B} }=\emptyset$
• $\mathbf {V} _{\alpha }^{\mathbb {B} }=\bigcup \limits _{\beta <\alpha }\mathbf {V} _{\beta }^{\mathbb {B} }$ – gdy $\alpha$ jest liczbą graniczną
• $\mathbf {V} _{\alpha +1}^{\mathbb {B} }$ jest zbiorem wszystkich funkcji $t,$ których dziedzina $\mathrm {dom} (t)$ jest podzbiorem $\mathbf {V} _{\alpha }^{\mathbb {B} }$ a wartości należą do algebry $\mathbb {B} .$

Kładziemy też $\mathbf {V} ^{\mathbb {B} }=\bigcup \limits _{\alpha \in {\mathbf {ON} }}\mathbf {V} _{\alpha }^{\mathbb {B} }.$

Termy boole’owskie są nazwami na obiekty w rozszerzeniach generycznych modeli teorii mnogości w tym sensie, że każdy element rozszerzenia jest interpretacją pewnego termu przez filtr generyczny.

Termy w informatyce

W sztucznej inteligencji term służy do reprezentowania bytów w programowaniu w logice (na przykład w języku Prolog).

W Prologu można wyróżnić kilka rodzajów termów:

• Liczby

Wszystkie wersje Prologu pozwalają na używanie liczb całkowitych (integer), np. 625, +12, -23. Większość wersji Prologu pozwala również na liczby zmiennoprzecinkowe, np. 6.43, -.245.

• Atomy

Atomy są stałą, która nie ma numerycznej wartości. Istnieją trzy warianty, w których można zapisać atom: a) sekwencja jednej lub wielu liter, numeru i podkreślnika zaczynająca się od małej litery, np. agata, dzisiaj_jest_sobota, a32_BCD b) sekwencja znaków zamkniętych w pojedynczy cudzysłów, może zawierać spacje, np. 'Dzisiaj jest sobota', '32abc', 'dzisiaj-jest-sobota' c) sekwencja jednego lub wielu znaków specjalnych: + - * / > < = & # @ :

• Zmienne

W zapytaniu zmienna jest używana do określenia termu, np. zmienna X może oznaczać atom - pies, liczbę - 23, term złożony czy listę. Nazwa zmiennej jest oznaczona przez dowolną sekwencję jednej lub więcej liter, cyfr, podkreślenia, zaczynając od wielkiej litery lub podkreślnika, np. X, Autor, Osoba_A, _123A. Zmienna składająca się z pojedynczego podkreślnika jest nazywana zmienną anonimową.

• Termy złożone

Termy te mają fundamentalne znaczenie przy pisaniu programów Prolog. Term złożony zaczyna się od atomu, znanego tutaj jako funktor. Po funktorze następuje sekwencja argumentów, które są ujęte w nawiasy. functor(term_1, term_2, ... ,term_n), n>=1 Liczbę argumentów w termie złożonym nazywa się arnością.

• Listy

Listy często traktuje się jako specjalny typ termu złożonego albo osobny typ w zależności od uczonego. Listy zawierają argumenty zamknięte w nawiasy kwadratowe, oddzielone przecinkami, np. [pies, kot, y, [p,q,R], miasto(poznan)]. Lista bez elementów jest pustą listą, którą zapisuje się w ten sposób [].

Często spotykaną interpretacją termu jest drzewo etykietowane.