Twierdzenie Tajmanowa

Twierdzenie Tajmanowa – twierdzenie w topologii ogólnej, podające charakteryzację możliwości przedłużania odwzorowań ciągłych z gęstych podprzestrzeni przestrzeni zwartych na całą przestrzeń. Twierdzenie zostało po raz pierwszy udowodnione przez rosyjskiego matematyka Asana Tajmanowa.

Twierdzenie

Załóżmy, że

• $Y$ jest przestrzenią zwartą,
• $X\subseteq Y$ jest jej gęstą podprzestrzenią, tzn. ${\mbox{cl}}X=Y,$
• $Z$ jest przestrzenią zwartą,
• funkcja $f\colon X\to Z$ jest ciągła.

Wówczas istnieje funkcja ciągła ${\overline {f}}\colon Y\to Z$ taka, że ${\overline {f}}(x)=f(x)$ dla $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych dwóch zbiorów otwartych $U,V\subseteq Z$ takich, że

${\mbox{cl}}U\cap {\mbox{cl}}V=\varnothing$

spełniony jest warunek

${\mbox{cl}}_{X}f^{-1}[U]\cap {\mbox{cl}}_{X}f^{-1}[V]=\varnothing .$

Wnioski

• Jeśli $\kappa$ jest nieskończoną liczbą kardynalną oraz domknięty i nigdziegęsty podzbiór $F$ kostki Cantora $\{0,1\}^{\kappa }$ nie zawiera zbiorów typu G_δ, to $\beta (\{0,1\}^{\kappa }\setminus F)=\{0,1\}^{\kappa }.$ (zob. uzwarcenie Čecha-Stone’a).
• Przestrzeń $\beta \mathbb {N}$ jest homeomorficzna z pewnym podziorem kostki Cantora wagi continuum.

Zobacz też

• lemat Urysohna

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek. Teoria mnogości, PWN, Warszawa 2007.