Ułamki proste

Ułamki proste – składniki pewnej sumy, w postaci której przedstawia się dowolną funkcję wymierną, w której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdy ułamek prosty jest ułamkiem o następujących własnościach:

  • mianownik jest potęgą pewnego wielomianu nierozkładalnego,
  • licznik jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnia nierozkładalnego wielomianu występującego w mianowniku (niepodniesionego do żadnej potęgi większej od 1).

Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę pewnego wielomianu i pewnej funkcji wymiernej, w której stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Przedstawienie tej ostatniej funkcji wymiernej w postaci sumy ułamków prostych nazywa się rozkładem funkcji na ułamki proste.

To, jakie wielomiany są nierozkładalne, zależy od ciała, nad którym je rozważamy. Przykładowo, w ciele liczb rzeczywistych istnieją wielomiany nierozkładalne stopnia 1 i 2, w ciele liczb zespolonych jedynie stopnia 1, zaś w ciele liczb wymiernych istnieją wielomiany nierozkładalne dowolnie wysokich stopni.

Rozkład na ułamki proste ułatwia obliczanie całek, a także rozwiązywanie równań różniczkowych.

Możliwe postaci ułamka prostegoEdytuj

W ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach rzeczywistych[1]:

  1.  
  2.  

W ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach zespolonych

  1.  

Przykłady rozkładuEdytuj

  •   tutaj  
  •   tutaj  
  •  

Aby znaleźć współczynniki   stosuje się metodę współczynników nieoznaczonych. W tym celu wystarczy prawą stronę sprowadzić do wspólnego mianownika i wielomian w jej liczniku uporządkować według zmiennej. Na przykład w ostatnim punkcie powstanie wielomian

 

Przyrównując współczynniki przy kolejnych potęgach zmiennej   do odpowiednich współczynników wielomianu z lewej strony (tu jest wielomian stały) otrzymuje się układ równań, po rozwiązaniu którego otrzymuje się wartości współczynników  

PrzypisyEdytuj

  1. ułamek prosty, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-02].