Zbiory wolne (lub zbiory liczb wolnych) – zbiory wszystkich liczb całkowitych niebędących wielokrotnościami żadnej z liczb dla danego zbioru będącego podzbiorem zbioru liczb naturalnych[1][2]. Formalnie zbiór wolny oznaczamy przez i definiujemy
Przykładem zbioru liczb wolnych jest zbiór liczb pierwszych wraz z i liczbami pierwszymi przemnożonymi przez . Zbiór ten możemy otrzymać przyjmując . Wówczas problem występowania bloku czy innych w ciągu jest równoważny z problemem liczb pierwszych bliźniaczych oraz innymi odpowiednikami.
Jednym z najważniejszych problemów dotyczących zbiorów i liczb wolnych jest nieskończoność występowania danych bloków 0 i 1 w ciągu . Przykładowo, jeśli , to można zadać pytanie, czy istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych , dla których .
Jednym z czołowych matematyków zajmujących się badaniem zbiorów wolnych jest Mariusz Lemańczyk.
Analiza struktury zbioru oparta jest na analizie trzech układów dynamicznych[2]:
, gdzie jest domknięciem orbity ,
, gdzie jest najmniejszym (w sensie zawierania) zbiorem dziedzicznym zawierającym jako swój podzbiór. O zbiorze powiemy, że jest dziedziczny, jeśli dla dowolnych ciągów takich, że dla wszystkich warunek implikuje ,
, gdzie . Warunek definiujący zbiór oznacza, że nie dla wszystkich istnieje taka, że . Zbiór nazywamy zbiorem ciągów dopuszczalnych.
Znany wynik z teorii układów dynamicznych mówi, że dla dowolnego będącego otwartym otoczeniem zbiór jest syndetyczny (ma ograniczone różnice między kolejnymi elementami) wtedy i tylko wtedy, gdy układ jest minimalny. Warunek syndetyczności powyższego zbioru jest znacznie silniejszy od występowania nieskończenie wielu takich samych bloków na . Jednakże układ zwykle nie jest minimalny, dlatego występowanie bloków na uzasadnia się z wykorzystaniem innych własności tego układu lub z wykorzystaniem tzw. kanonicznych liczników.
Oznaczamy dla będących miarami zliczającymi, tzn. miarą produktową będącą jednocześnie miarą Haara (ponieważ wartość nie zmienia się pod wpływem działania grupowego na ). Układ nazywamy kanonicznym licznikiem (ang. canonical odometer) powiązanym z . Przykładowo, jeśli , to
.
Własności kanonicznego liczniku mają ogromny wpływ na pierwotny układ dynamiczny, ponieważ istnieje faktor zadany przez dla taki, że dla dowolnego , a ponadto, z CRT wynika, że jest układem minimalnym. Dodatkowo, spełnia definicję grupy abelowej, więc - ze względu na minimalność - jest ona jednoznacznie ergodyczna[3], tzn. istnieje tylko jedna miara ergodyczna mogąca być jej przypisana i jest nią .
Kanoniczny licznik możemy powiązać z układem przy pomocy miary Mirsky'ego, zdefiniowanej dla dowolnego za pomocą odwrotności faktora , jako
oraz dla , to każdy blok, który występuje na przynajmniej raz, będzie tam występował nieskończenie często[2]. Wynika to z generyczności oraz dodatniości miary dla cylindra odpowiadającego temu blokowi. Z warunku korzystamy, aby pokazać, że jest minimalny, a z warunku Besicovitcha, żeby wykazać dodatniość miary.
Zbiór generujący zbiór liczb pierwszych wraz z i liczbami pierwszymi przemnożonymi przez nie spełnia powyższych założeń. Oznacza to, że teoria zbiorów wolnych nie potrafi rozstrzygnąć problemów takich, jak hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych.
Przykładami zbiorów wolnych, dla których spełnia warunki, są[2]:
↑StanisławS.KasjanStanisławS., GerhardG.KellerGerhardG., MariuszM.LemańczykMariuszM., Dynamics of B-Free Sets: A View Through the Window, „International Mathematics Research Notices”, 2019 (9), 2017, s. 2690–2734, DOI: 10.1093/imrn/rnx196, ISSN1073-7928 [dostęp 2023-12-04].
↑ abcdeA.A.BartnickaA.A. i inni, B-free sets and dynamics, 26 września 2015, DOI: 10.48550/arXiv.1509.08010 [dostęp 2023-12-05](ang.). Brak numerów stron w książce
↑ShaharS.MozesShaharS., BarakB.WeissBarakB., Minimality and unique ergodicity for subgroup actions, „Annales de l’institut Fourier”, 48 (5), 1998, s. 1533–1541, DOI: 10.5802/aif.1665, ISSN0373-0956.