Zbiory B-wolne

Zbiory ${\mathcal {B}}-$wolne (lub zbiory liczb ${\mathcal {B}}-$wolnych) – zbiory wszystkich liczb całkowitych niebędących wielokrotnościami żadnej z liczb $b\in {\mathcal {B}}$ dla danego zbioru ${\mathcal {B}}$ będącego podzbiorem zbioru liczb naturalnych. Formalnie zbiór ${\mathcal {B}}-$wolny oznaczamy przez ${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}$ i definiujemy

${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}:=\mathbb {Z} \setminus \bigcup _{b\in {\mathcal {B}}}b\mathbb {Z} .$

Badaniem zbiorów ${\mathcal {B}}-$wolnych zajmuje się przede wszystkim teoria ergodyczna, chodź należą one do zagadnień teorii liczb. Główna strategia przyjęta w ramach badań polega na analizie topologicznych układów dynamicznych postaci $(X,S)$ przy $(X,d)$ będącej zwartą przestrzenią metryczną, gdzie $X\subset \{0,1\}^{\mathbb {Z} }$, tzn. $X$ jest pewnym podzbiorem zbioru wszystkich ciągów $x\colon \mathbb {Z} \to \{0,1\}$, a $S\colon X\to X$ jest lewym przesunięciem, tzn. $S(x)=y$, gdzie $y(k)=x(k-1)$. W takim układzie ciąg $\eta \in X$ definiujemy jako funkcję charakterystyczną zbioru ${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}$ ($\eta (k)=1$ gdy $k$ jest liczbą ${\mathcal {B}}-$wolną oraz $\eta (k)=0$ w przeciwnym wypadku). W pracach najczęściej wykorzystuje się klasyczne wyniki teorii ergodycznej, jak np. twierdzenie ergodyczne Birkhoffa, a także wyniki z zakresu teorii miary czy chińskie twierdzenie o resztach.

Przykładem zbioru liczb ${\mathcal {B}}-$wolnych jest zbiór liczb pierwszych wraz z $1,-1$ i liczbami pierwszymi przemnożonymi przez $-1$. Zbiór ten możemy otrzymać przyjmując ${\mathcal {B}}=\{pq\colon p,q\in \mathbb {P} \}$. Wówczas problem występowania bloku $(1,0,1)$ czy innych w ciągu $\eta$ jest równoważny z problemem liczb pierwszych bliźniaczych oraz innymi odpowiednikami.

Jednym z najważniejszych problemów dotyczących zbiorów i liczb ${\mathcal {B}}-$wolnych jest nieskończoność występowania danych bloków 0 i 1 w ciągu $\eta$. Przykładowo, jeśli $(\eta (1),\eta (2),\eta (3))=(1,0,1)$, to można zadać pytanie, czy istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych $k$, dla których $(\eta (k+1),\eta (k+2),\eta (k+3))=(1,0,1)$.

Jednym z czołowych matematyków zajmujących się badaniem zbiorów ${\mathcal {B}}-$wolnych jest Mariusz Lemańczyk.

Zbiory $X_{\eta },{\widetilde {X_{\eta }}}$ i $X_{\mathcal {B}}$

Analiza struktury zbioru ${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}$ oparta jest na analizie trzech układów dynamicznych:

• $(X_{\eta },S)$, gdzie $X_{\eta }$ jest domknięciem orbity $O_{S}(\eta )=\{S^{n}\eta \colon n\in \mathbb {Z} \}$,
• $({\widetilde {X_{\eta }}},S)$, gdzie ${\widetilde {X_{\eta }}}$ jest najmniejszym (w sensie zawierania) zbiorem dziedzicznym zawierającym $X_{\eta }$ jako swój podzbiór. O zbiorze $A\subset \{0,1\}^{\mathbb {Z} }$ powiemy, że jest dziedziczny, jeśli dla dowolnych ciągów $x,y\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }$ takich, że $x(k)\leqslant y(k)$ dla wszystkich $k\in \mathbb {Z}$ warunek $y\in A$ implikuje $x\in A$,
• $(X_{\mathcal {B}},S)$, gdzie $X_{\mathcal {B}}=\{x\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }\colon |{\text{supp }}x{\text{ mod }}b|<b\}$. Warunek definiujący zbiór oznacza, że nie dla wszystkich $r\in \{0,1,\ldots ,b-1\}$ istnieje $n\in \mathbb {Z}$ taka, że $x(nb+r)=1$. Zbiór $X_{\mathcal {B}}$ nazywamy zbiorem ciągów ${\mathcal {B}}-$dopuszczalnych.

Znany wynik z teorii układów dynamicznych mówi, że dla dowolnego $U$ będącego otwartym otoczeniem $\eta$ zbiór $\{n\in \mathbb {Z} \colon S^{n}\eta \in U\}$ jest syndetyczny (ma ograniczone różnice między kolejnymi elementami) wtedy i tylko wtedy, gdy układ $(X_{\eta },S)$ jest minimalny. Warunek syndetyczności powyższego zbioru jest znacznie silniejszy od występowania nieskończenie wielu takich samych bloków na $\eta$. Jednakże układ $(X_{\eta },S)$ zwykle nie jest minimalny, dlatego występowanie bloków na $\eta$ uzasadnia się z wykorzystaniem innych własności tego układu lub z wykorzystaniem tzw. kanonicznych liczników.

Kanoniczny licznik

Dla danego zbioru ${\mathcal {B}}=\{b_{1},b_{2},\ldots \}$ oznaczamy

$G_{\mathcal {B}}=\prod _{k\geqslant 1}\mathbb {Z} /b_{k}\mathbb {Z}$.

$G_{\mathcal {B}}$ jest wówczas grupą abelową ze zdefiniowanym dodawaniem wzdłuż współrzędnych, $Tg=g+(1,1,1,\ldots )$ (przy czym jeśli $g(k)=b_{k}-1$, to $(g+(1,1,1,\ldots ))(k)=0$). Topologia produktowa na $G_{\mathcal {B}}$ jest metryzowalna, z (ograniczoną) metryką

$d(g,g')=\sum _{k\geqslant 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {|g_{k}-{g'}_{k}|}{1+|g_{k}-{g'}_{k}|}}$.

Oznaczamy $\mathbb {P} =\otimes m_{\mathbb {Z} /b\mathbb {Z} }$ dla $m_{\mathbb {Z} /b\mathbb {Z} }$ będących miarami zliczającymi, tzn. miarą produktową będącą jednocześnie miarą Haara (ponieważ wartość $\mathbb {P} (A)$ nie zmienia się pod wpływem działania grupowego $T$ na $A$). Układ $(G_{\mathcal {B}},T,\mathbb {P} )$ nazywamy kanonicznym licznikiem (ang. canonical odometer) powiązanym z ${\mathcal {B}}$. Przykładowo, jeśli $A=\{g\in G_{\mathcal {B}}\colon \;g(1)=0,\;g(2)\in \{0,1\}\}$, to

$\mathbb {P} (A)={\frac {1}{b_{1}}}\cdot {\frac {2}{b_{2}}}\cdot 1\cdot 1\cdot \ldots ={\frac {2}{b_{1}b_{2}}}$.

Przykład działania faktora $\varphi$ dla ${\mathcal {B}}=\{2,3,5\}$ i $g=(1,1,3)$. Wyraz $\varphi (g)(n)=\mathbf {1} _{C}(T^{n}g)$ przyjmuje wartość równą 0, jeśli któraś ze współrzędnych $T^{n}g$ w $G_{\mathcal {B}}$ jest podzielna przez pewną liczbę $b\in {\mathcal {B}}$ (znajduje się w czerwonym prostokącie).

Własności kanonicznego liczniku mają ogromny wpływ na pierwotny układ dynamiczny, ponieważ istnieje faktor $\varphi \colon G_{\mathcal {B}}\to \{0,1\}^{\mathbb {Z} }$ zadany przez $\varphi (g)(n)=\mathbf {1} _{C}(T^{n}g)$ dla $C=\{g\in G_{\mathcal {B}}\colon \;g_{i}\neq 0,\;i=1,2,\ldots \}$ taki, że $\varphi \circ T^{n}=S^{n}\circ \varphi$ dla dowolnego $n\in \mathbb {Z}$, a ponadto, z CRT wynika, że $(G_{\mathcal {B}},T)$ jest układem minimalnym. Dodatkowo, $(G_{\mathcal {B}},T)$ spełnia definicję grupy abelowej, więc - ze względu na minimalność - jest ona jednoznacznie ergodyczna, tzn. istnieje tylko jedna miara ergodyczna mogąca być jej przypisana i jest nią $\mathbb {P}$.

Kanoniczny licznik możemy powiązać z układem $(X_{\mathcal {B}},S)$ przy pomocy miary Mirsky'ego, zdefiniowanej dla dowolnego $A\subset X_{\mathcal {B}}$ za pomocą odwrotności faktora $\varphi$, jako

$\nu (A)=\mathbb {P} (\varphi ^{-1}(A))$.

Generyczność punktów

O elemencie $x\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }$ powiemy, że jest generyczny, jeśli

$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}\mathbf {1} _{C}(S^{n}x)=\nu (C)$

dla dowolnego cylindra $C$ (zbioru postaci $\{x\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }\colon \;x(j_{s})=0,\;s=1,2,\ldots ,r\}$ dla pewnego skończonego $r\in \mathbb {N}$). Element ten nazwiemy quasi-generycznym, jeśli istnieje ciąg $(N_{k})$ taki, że

$\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{N_{k}}}\sum _{n=0}^{N_{k}-1}\mathbf {1} _{C}(S^{n}x)=\nu (C)$.

Wiadomo, że dla dowolnego ${\mathcal {B}}\subset \mathbb {N}$ ciąg $\eta$ jest quasi-generyczny, a jeśli ${\mathcal {B}}$ spełnia warunek Besicovitcha

$\sum _{b\in {\mathcal {B}}}{\frac {1}{b}}<\infty$,

to, ponadto, $\eta$ jest generyczna.

Obliczanie miary Mirsky'ego

Przy mierze Mirsky'ego zdefiniowanej za pomocą miary $\mathbb {P}$ i odwzorowania $\varphi ^{-1}$, dla dowolnego skończonego zbioru $A\subset \mathbb {N}$, oznaczając cylinder $C_{A}^{1}=\{x\in \{0,1\}^{\mathbb {Z} }\colon \;x(k)=1,\;k\in A\}$, możemy pokazać, że

$\nu (C_{A}^{1})=\prod _{k\geqslant 1}\left(1-{\frac {|{\text{supp }}A{\text{ mod}}\;b_{k}|}{b_{k}}}\right)$,

gdzie ${\text{supp}}$ oznacza nośnik zbioru. Jeśli $A$ jest skończony i ${\mathcal {B}}-$dopuszczalny ( $|{\text{supp }}A{\text{ mod}}\;b|<b$ dla każdego $b\in {\mathcal {B}}$), to wykazujemy, że $\nu (C_{A}^{1})>0$.

Wnioski w teorii liczb

Jeśli zbiór ${\mathcal {B}}=\{b_{1},b_{2},\ldots \}$ spełnia warunki

$\sum _{b\in {\mathcal {B}}}{\frac {1}{b}}<\infty$

oraz ${\text{NWD}}(b_{i},b_{j})=1$ dla $i\neq j$, to każdy blok, który występuje na $\eta$ przynajmniej raz, będzie tam występował nieskończenie często. Wynika to z generyczności $\eta$ oraz dodatniości miary $\nu (C_{A}^{1})$ dla cylindra $C_{A}^{1}$ odpowiadającego temu blokowi. Z warunku ${\text{NWD}}(b_{i},b_{j})=1$ korzystamy, aby pokazać, że $(G_{\mathcal {B}},T)$ jest minimalny, a z warunku Besicovitcha, żeby wykazać dodatniość miary.

Zbiór ${\mathcal {B}}$ generujący ${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}$ zbiór liczb pierwszych wraz z $1,-1$ i liczbami pierwszymi przemnożonymi przez $-1$ nie spełnia powyższych założeń. Oznacza to, że teoria zbiorów ${\mathcal {B}}-$wolnych nie potrafi rozstrzygnąć problemów takich, jak hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych.

Przykładami zbiorów ${\mathcal {B}}-$wolnych, dla których ${\mathcal {B}}$ spełnia warunki, są:

• liczby bezkwadratowe (dla ${\textstyle {\mathcal {B}}=\{p^{2}\colon p\in \mathbb {P} \}}$),
• liczby deficytowe,
• liczby nadmiarowe.