Średnia kwadratowa

Średnia kwadratowa (RMS, ang. Root Mean Square[a]) – przykład miary statystycznej pozwalającej oszacować rząd wielkości serii danych liczbowych lub funkcji ciągłej, użyteczny zwłaszcza w przypadku, gdy wielkości różnią się znakiem.

Średnia kwadratowa jest szczególnym przypadkiem innej miary, jest to mianowicie średnia potęgowa rzędu 2, jednak ze względu na jej znaczenie praktyczne ma odrębną nazwę.

Dla rozkładu dyskretnegoEdytuj

Średnia kwadratowa   liczb   jest to pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb[1]:

 

Na przykład średnia kwadratowa liczb 2, 2, 5 i 7 jest równa:

 

Ważona średnia kwadratowa jest to średnia kwadratowa z uwzględnieniem wag poszczególnych składników:

 

Dla rozkładu ciągłegoEdytuj

Średnią kwadratową funkcji ciągłej   określonej w przedziale   określamy według wzoru:

 

Przykłady zastosowańEdytuj

W matematyceEdytuj

Średnia kwadratowa różnic wartości zmiennej i wartości oczekiwanej jest odchyleniem standardowym tej zmiennej (dla populacji skończonej):

 

gdzie:

  – liczebność populacji,
  – wartość oczekiwana zmiennej.

W rachunku błędówEdytuj

Odchylenie standardowe jest miarą niepewności pomiarowej przy wielokrotnym pomiarze tej samej wielkości. Estymatorem wartości oczekiwanej jest wówczas wartość średnia. Aby średnia kwadratowa odchyleń od średniej mogła być średnim błędem kwadratowym, liczba pomiarów powinna być większa od 30.

W teorii kinetycznej gazówEdytuj

Średnia prędkość kwadratowa cząsteczek gazu doskonałego w teorii kinetycznej gazów:

 

jest ściśle związana z temperaturą tego gazu. Dla gazu jednoatomowego zależność ta wyraża się wzorem:

 

gdzie:

 stała Boltzmanna,
 temperatura w kelwinach,
 masa pojedynczej cząsteczki.

Wzór ten można wyprowadzić z rozkładu prędkości cząsteczek (rozkład Maxwella).

W teorii sygnałówEdytuj

Wartość skuteczna natężenia   prądu przemiennego   jest taką wartością natężenia prądu stałego, która w ciągu czasu   równego okresowi prądu przemiennego, spowoduje ten sam efekt cieplny, co dany sygnał prądu przemiennego. Wartość ta jest średnią kwadratową tego sygnału:

 

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. nazwa stosowana głównie w żargonie elektronicznym w znaczeniu: wartość skuteczna.

PrzypisyEdytuj

  1. średnia kwadratowa, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-01].