Grupa algebraiczna

Grupa algebraiczna, rozmaitość grupowagrupa, która jest rozmaitością algebraiczną taką, że mnożenie i odwracanie zadane są na rozmaitości przez funkcje regularne. W języku teorii kategorii grupy algebraiczne są obiektami grupowymi w kategorii rozmaitości algebraicznych.

KlasyEdytuj

Kilka ważnych klas grup stanowią grupy algebraiczne, m.in.:

Istnieją dwie ważne klasy grup algebraicznych, które zasadniczo studiuje się niezależnie: rozmaitości abelowe (teoria „rzutowa/projektywna”) oraz liniowe grupy algebraiczne (teoria „afiniczna”). Z pewnością istnieją przykłady, które nie należą tak do jednej, jak i do drugiej klasy – są to przykładowo we nowoczesnej teorii całek rodzajów drugiego i trzeciego takie jak funkcja zeta Weierstrassa, czy w teorii uogólnionych jakobianów. Jednakże zgodnie z twierdzeniem zasadniczym każda grupa algebraiczna jest rozszerzeniem rozmaitości algebraicznej o liniową grupę algebraiczną. Jest to wynik Claude’a Chevalleya: jeżeli   jest ciałem doskonałym, zaś   jest grupą alebraiczną nad   to istnieje wyznaczona jednoznacznie domknięta podgrupa normalna   grupy   taka, że   jest grupą liniową, zaś   jest rozmaitością abelową[1].

Zgodnie z innym podstawowym twierdzeniem każda grupa w kategorii rozmaitości afinicznych ma wierną reprezentację liniową: można postrzegać ją jako grupę macierzową nad   określoną za pomocą wielomianów nad   przy czym mnożenie macierzowe jest operacją grupową. Z tego powodu koncepcja afinicznej grupy algebraicznej nad ciałem jest nadmiarowa – można pokusić się o bardzo konkretną definicję. Oznacza to, że podczas pracy nad ciałem liczb rzeczywistych grupa algebraiczna jest pojęciem węższym od grupy Liego: istnieją takie przykłady, takie jak nakrycie uniwersalne specjalnej grupy liniowej   które są grupa Liego, ale nie mają wiernej reprezentacji liniowej. Między tymi dwoma pojęciami zachodzi bardziej oczywista różnica: składowa jedynki afinicznej grupy algebraicznej   jest koniecznie skończonego indeksu w  

Praca nad pierścieniami (przemiennym)   umożliwia wprowadzenie pojęcia schematu grupowego, tzn. obiektu grupowego w kategorii schematów nad   Schemat grupy afinicznej jest pojęciem dualnym do rodzaju algebry Hopfa. Istnieje wyszukana teoria schematów grupowych, która przykładowo wkracza we współczesną teorię rozmaitości abelowych.

Podgrupa algebraicznaEdytuj

Podgrupą algebraiczną grupy algebraicznej nazywa się podgrupę zamkniętą ze względu na topologię Zariskiego. Zwykle rozumie się, iż są także spójne (bądź nierozkładalne jako rozmaitość).

Innym sposobem wyrażenia warunku jest żądanie, by dana podgrupa była także podrozmaitością.

Można to uogólnić poprzez zastąpienie rozmaitości schematami. Głównym tego następstwem, oprócz dopuszczenia podgrup, w których składowa spójna jest skończonego indeksu większego od 1, jest przyzwolenie na niezredukowane schematy dla charakterystyki  

Grupy CoxeteraEdytuj

Osobny artykuł: grupa Coxetera.

Istnieje mnóstwo odpowiadających sobie wyników dla grup algebraicznych i grup Coxetera – przykładowo liczba elementów grupy symetrycznej wynosi   zaś liczba elementów pełnej grupy liniowej nad ciałem skończonym jest q-silnia   stąd grupa symetryczna jest jak gdyby grupą liniową nad „ciałem o jednym elemencie”. W tym ujęciu grupy Coxetera są grupami algebraicznymi prostymi nad ciałem jednoelementowym.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Wynik Chevalleya z 1960 roku jest trudny; współczesne podejście Briana Conrada: PDF.

LiteraturaEdytuj