Miara regularna

Miara regularna – miara określona na przestrzeni topologicznej dla której każdy zbiór mierzalny jest „niemal otwarty” i „niemal domknięty”.

Definicja

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną, zaś ${\mathfrak {M}}$ oznacza σ-algebrę określoną na $X,$ która zawiera topologię $\tau$ (tak więc w ten sposób wszystkie zbiory otwarte i domknięte są mierzalne, czyli dana σ-algebra jest co najmniej tak bogata jak σ-algebra borelowska). Niech $\mu$ będzie miarą na $(X,{\mathfrak {M}}).$ Podzbiór mierzalny $A$ przestrzeni $X$ jest $\mu$ -regularny, jeśli

\mu (A)=\sup\{\mu (F)\colon F\subseteq A,F{\mbox{ - domkniety}}\}

oraz

\mu (A)=\inf\{\mu (G)\colon G\supseteq A,G{\mbox{ - otwarty}}\}.

Równoważnie $A$ jest zbiorem $\mu$ -regularnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $\delta >0$ istnieją zbiory domknięty $F$ i otwarty $G$ takie, że

F\subseteq A\subseteq G

przy czym

\mu (G\setminus F)<\delta .

Jeżeli każdy zbiór mierzalny jest regularny, to miarę $\mu$ nazywa się regularną.

Niektórzy autorzy wymagają, by zbiór $F$ był zwarty (a nie tylko domknięty)^[1].

Zgodnie z twierdzeniem o regularności miary Lebesgue’a: miara Lebesgue’a na prostej rzeczywistej jest miarą regularną.
Dowolna borelowska miara prawdopodobieństwa na przestrzeni metrycznej jest regularna.
Miara trywialna, która przypisuje zero dowolnemu zbiorowi mierzalnemu jest regularna.
Trywialnym przykładem miary nieregularnej na prostej rzeczywistej z jej standardową topologią jest miara $\mu$ taka, że

\mu (\varnothing )=0,

\mu {\bigl (}\{1\}{\bigr )}=0

oraz $\mu (A)=\infty$ dla jakiegokolwiek innego zbioru $A.$

Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9.
Kalyanapuram R. Parthasarathy: Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2005, s. xii+276. MR 2169627. ISBN 0-8218-3889-X. (zob. rozdział 2)
Richard M. Dudley: Real Analysis and Probability. Chapman & Hall, 1989.