Miara trywialna

Miara trywialna – miara przyporządkowująca każdemu zbiorowi mierzalnemu miarę zerową (zob. zbiór miary zero); równoważnie: miara jest trywialna wtedy i tylko wtedy, gdy miara całej przestrzeni jest równa zeru. Innymi słowy jest ona niezmiennicza (a więc quasi-niezmiennicza) dla dowolnej funkcji danej przestrzeni mierzalnej w siebie.

Własności

Niech $\mu$ oznacza miarę trywialną określoną na pewnej przestrzeni mierzalnej $(X,{\mathfrak {M}}),$ która jest zarazem przestrzenią topologiczną taką, że ${\mathfrak {M}}$ jest σ-algebrą borelowską na $X.$

• Miara $\mu$ trywialnie spełnia warunek regularności miary.
• Miara $\mu$ nigdy nie jest ściśle dodatnia, bez względu na $(X,{\mathfrak {M}}),$ gdyż każdy zbiór mierzalny jest miary zero.
• Ponieważ $\mu (X)=0,$ to $\mu$ zawsze jest miarą skończoną, a stąd także lokalnie skończoną.
• Jeżeli $X$ jest przestrzenią Hausdorffa z jej σ-algebrą borelowską, to $\mu$ trywialnie spełnia warunek wewnętrznej regularności (ciasności/jędrności) miary. Wraz z powyższą własnością oznacza to, że $\mu$ jest wówczas miarą Radona. Istotnie, jest to wierzchołek stożka wszystkich nieujemnych miar Radona na $X.$
• Jeżeli $X$ jest nieskończeniewymiarową przestrzenią Banacha z jej σ-algebrą borelowską, to $\mu$ jest jedyną miarą na $(X,{\mathfrak {M}}),$ która jest zarazem lokalnie skończona i niezmiennicza ze względu na wszystkie przesunięcia $X$ (zob. uwaga).
• Jeżeli $X$ jest $n$-wymiarową przestrzenią euklidesową $\mathbb {R} ^{n}$ wraz z jej zwykłą σ-algebrą oraz $n$-wymiarową miarą Lebesgue’a $\lambda _{n},$ to $\mu$ jest miarą osobliwą względem $\lambda _{n}.$ Wystarczy rozłożyć $\mathbb {R} ^{n}$ na $A=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}$ oraz $B=\{\mathbf {0} \}$ i zauważyć, że $\mu (A)=\lambda _{n}(B)=0.$